Контрольная работа по теме: «Логарифмы» 1. Вычислите значения выражений (по 2 балла): 1) log₂ 8 2) log₇ 1

Ниже — решения всех пунктов. Основное правило:
\[ \log_a b=c \iff b=a^c,\qquad a>0,\ a\ne1,\ b>0. \] В неравенствах при основании \(a>1\) знак сохраняется, при \(0<a<1\) — меняется. Сначала всегда находим ОДЗ.

1. Вычисления

1. \(\log_2 8=3\), так как \(2^3=8\).

2. \(\log_7 1=0\), так как \(7^0=1\).

3. \(\log_{\frac12}8=-3\), так как \(\left(\frac12\right)^{-3}=8\).

4. \(\log_x 32=5\). Тогда \(x^5=32=2^5\), значит \(x=2\).

5. \(\log_x 169=-2\). Тогда \(x^{-2}=169\), откуда \(x^2=\frac1{169}\). Так как \(x>0\), получаем \(x=\frac1{13}\).

Ответы:

1. \(3\); 2) \(0\); 3) \(-3\); 4) \(x=2\); 5) \(x=\frac1{13}\).

2. Уравнения

1. \(\log_4(x+2)=4\).
   ОДЗ: \(x>-2\).
   \[ x+2=4^4=256 \Rightarrow x=254. \]

2. \(\log_2(-x^2-x+8)=1\).
   \[ -x^2-x+8=2 \Rightarrow x^2+x-6=0 \Rightarrow x=-3,\ x=2. \] Оба значения подходят.

3. \(\log_7(x+2)+\log_7(x-1)=1\).
   ОДЗ: \(x>1\).
   \[ \log_7((x+2)(x-1))=1, \] \[ (x+2)(x-1)=7 \Rightarrow x^2+x-9=0. \] Корни: \[ x=\frac{-1\pm\sqrt{37}}2. \] Подходит только \[ x=\frac{\sqrt{37}-1}{2}. \]

4. \(2\log_2(x+1)=6\).
   ОДЗ: \(x>-1\).
   \[ \log_2(x+1)=3 \Rightarrow x+1=8 \Rightarrow x=7. \]

5. \(\log^2_{\frac12}x-\log_{\frac12}x-2=0\).
   Пусть \(t=\log_{\frac12}x\). Тогда \[ t^2-t-2=0 \Rightarrow t=2 \text{ или } t=-1. \] Если \(t=2\), то \(x=\left(\frac12\right)^2=\frac14\).
   Если \(t=-1\), то \(x=\left(\frac12\right)^{-1}=2\).

Ответы:

1. \(254\); 2) \(-3;\,2\); 3) \(\frac{\sqrt{37}-1}{2}\); 4) \(7\); 5) \(\frac14;\,2\).

3. Неравенства

1. \(\log_4(2x-3)>0\).
   ОДЗ: \(x>\frac32\).
   Так как основание \(4>1\): \[ 2x-3>1 \Rightarrow x>2. \] Ответ: \(x\in(2;+\infty)\).

2. \(\log_{\frac12}(2x-11)\le\log_{\frac12}(3-x)\).
   ОДЗ: \[ 2x-11>0 \Rightarrow x>\frac{11}{2}, \] \[ 3-x>0 \Rightarrow x<3. \] Эти условия одновременно не выполняются.
   Ответ: решений нет.

3. \(\log_{1,5}(x^2-6x-30)>\log_{1,5}(-2x+2)\).
   Основание \(1,5>1\), поэтому: \[ x^2-6x-30>-2x+2, \] \[ x^2-4x-32>0, \] \[ (x-8)(x+4)>0. \] Значит: \[ x<-4 \quad\text{или}\quad x>8. \] С учётом ОДЗ \(x<1\) и \(x^2-6x-30>0\) остаётся: \[ x<-4. \] Ответ: \(x\in(-\infty;-4)\).

4. \(\log_{0,25}(x^2-5x+12)\le-1\).
   Так как \(0,25<1\), знак меняется: \[ x^2-5x+12\ge 0,25^{-1}=4. \] \[ x^2-5x+8\ge0. \] Дискриминант: \[ D=25-32=-7<0, \] ветви параболы направлены вверх, значит неравенство верно при всех \(x\).
   Ответ: \(x\in\mathbb R\).

5. \(2\log_3^2x+5\log_3x<3\).
   Пусть \(t=\log_3x\). Тогда: \[ 2t^2+5t-3<0. \] Корни: \[ t=\frac12,\quad t=-3. \] Значит: \[ -3<t<\frac12. \] То есть: \[ -3<\log_3x<\frac12. \] Так как основание \(3>1\): \[ 3^{-3}<x<3^{\frac12}, \] \[ \frac1{27}<x<\sqrt3. \] Ответ: \(x\in\left(\frac1{27};\sqrt3\right)\).

\[ \boxed{\text{Все ответы собраны в решении выше.}} \]