Решение
Сверь числа и знаки с фото.
Опрос по площади треугольника и параллелограмма. Вариант 2
Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 12. Найдите площадь треугольника ACB. [Рисунок: треугольник ABC; вершина C вверху, A слева внизу, B справа внизу; на стороне BC отмечена точка M, на стороне AC — точка N; проведён отрезок MN.]
Площадь параллелограмма равна 36, а две его стороны равны 6 и 12. Найдите его высоты. В ответе укажите большую высоту.
Найдите площадь параллелограмма ADCB [Рисунок: параллелограмм; вершины B — верхняя левая, C — верхняя правая, D — нижняя правая, A — нижняя левая; на стороне AD отмечена точка E; из вершины B к AD проведён перпендикуляр BE, рядом с ним подписано 12; над стороной BC подписано 4.]
Сторона треугольника равна 12, а проведённая к этой стороне высота равна 7. Найдите площадь треугольника. [Рисунок: треугольник; из одной вершины к противоположной стороне проведена высота, отмечен прямой угол.]
Краткие ответы по всем пяти пунктам:
- \(26\)
- \(48\)
- \(6\)
- \(48\)
- \(42\)
Как это получить
В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, поэтому один можно считать основанием, а другой — высотой: \[ S=\frac12\cdot 13\cdot 4=26. \] Принцип: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
\(M\) и \(N\) — середины \(BC\) и \(AC\), значит \(MN\) — средняя линия. Треугольники \(CNM\) и \(CBA\) подобны: угол \(C\) общий, а \(CN/CA=CM/CB=\frac12\). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: \[ \frac{S_{CNM}}{S_{ABC}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14. \] Отсюда \[ S_{ABC}=4\cdot 12=48. \] Принцип: средняя линия отсекает треугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади исходного.
Площадь параллелограмма \(S=a h_a\), поэтому \(h_a=S/a\). К стороне \(6\) проведена высота \[ h_1=\frac{36}{6}=6, \] а к стороне \(12\) — высота \[ h_2=\frac{36}{12}=3. \] Большая высота равна \(6\). Принцип: при одной и той же площади меньшей стороне соответствует большая высота.
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому \(AD=BC=4\). На рисунке \(BE=12\) — высота к стороне \(AD\). Тогда \[ S=AD\cdot BE=4\cdot 12=48. \] Принцип: площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
Площадь треугольника через сторону и высоту: \[ S=\frac12\cdot 12\cdot 7=42. \] Принцип: \(S=\frac12 a h_a\), где \(h_a\) — высота к стороне \(a\).
Проверка: в п. 2 площадь \(CNM\) составляет четверть \(ABC\): \(48:4=12\), сходится. В п. 3 обе высоты дают одну площадь: \(6\cdot6=36\) и \(12\cdot3=36\). В п. 1 и 5 числа подставлены верно.
