1. Вычислите: а) ½√196 + 1,5√0,36; б) 1,5 − 7√25/49; в) (2√1,5)².

Вот подробное решение.

1. Вычислите

а)
\[ \frac12\sqrt{196}+1{,}5\sqrt{0{,}36} =\frac12\cdot14+1{,}5\cdot0{,}6 =7+0{,}9=7{,}9 \]

б)
\[ 1{,}5-7\sqrt{\frac{25}{49}} =1{,}5-7\cdot\frac57 =1{,}5-5=-3{,}5 \]

в)
\[ (2\sqrt{1{,}5})^2=4\cdot1{,}5=6 \]

Ответ: а) \(7{,}9\); б) \(-3{,}5\); в) \(6\).

2. Найдите значение выражения

а)
\[ \sqrt{0{,}36\cdot25}=\sqrt{9}=3 \]

б)
\[ \sqrt8\cdot\sqrt{18}=\sqrt{8\cdot18}=\sqrt{144}=12 \]

в)
\[ \frac{\sqrt{27}}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt9=3 \]

г)
\[ \sqrt{2^4\cdot5^2}=\sqrt{16\cdot25}=\sqrt{400}=20 \] или короче: \[ \sqrt{2^4\cdot5^2}=2^2\cdot5=4\cdot5=20 \]

Ответ: а) \(3\); б) \(12\); в) \(3\); г) \(20\).

3. Решите уравнение

а)
\[ x^2=0{,}64 \] \[ x=\pm0{,}8 \]

б)
\[ x^2=17 \] \[ x=\pm\sqrt{17} \]

Ответ: а) \(x=\pm0{,}8\); б) \(x=\pm\sqrt{17}\).

4. Упростите выражение

а)
\[ y^3\sqrt{4y^2} \] Так как \(y\ge0\), то \(\sqrt{y^2}=y\). Поэтому: \[ y^3\cdot2y=2y^4 \]

б)
\[ 7a\sqrt{\frac{16}{a^2}} \] \[ \sqrt{\frac{16}{a^2}}=\frac{4}{|a|} \] По условию \(a<0\), значит \(|a|=-a\). Тогда: \[ 7a\cdot\frac{4}{-a}=-28 \]

Ответ: а) \(2y^4\); б) \(-28\).

5.

Нужно найти две соседние десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми находится \(\sqrt{38}\).

Проверим: \[ 6{,}1^2=37{,}21 \] \[ 6{,}2^2=38{,}44 \] Так как \[ 37{,}21<38<38{,}44, \] то \[ 6{,}1<\sqrt{38}<6{,}2 \]

Ответ: \(6{,}1\) и \(6{,}2\).

6. Разложите на множители квадратный трёхчлен

1)
\[ x^2+10x-24 \] Нужны два числа, сумма которых \(10\), а произведение \(-24\). Это \(12\) и \(-2\).

\[ x^2+10x-24=(x+12)(x-2) \]

2)
\[ 3x^2-11x+6 \] Найдём корни через дискриминант: \[ D=(-11)^2-4\cdot3\cdot6=121-72=49 \] \[ x_{1,2}=\frac{11\pm7}{6} \] \[ x_1=3,\qquad x_2=\frac23 \] Поэтому: \[ 3x^2-11x+6=3\left(x-3\right)\left(x-\frac23\right) \] Упростим: \[ 3\left(x-\frac23\right)=3x-2 \] Получаем: \[ 3x^2-11x+6=(x-3)(3x-2) \]

Ответ:

1. \((x+12)(x-2)\);
2. \((x-3)(3x-2)\).

3. Если \(x^2=a\), то \(x=\pm\sqrt{a}\).

а)
\[ x^2=0{,}64 \] \[ x=\pm\sqrt{0{,}64}=\pm0{,}8 \]

б)
\[ x^2=17 \] \[ x=\pm\sqrt{17} \]

Ответ:
а) \(x=\pm0{,}8\);
б) \(x=\pm\sqrt{17}\).

Вот аккуратное решение всех четырёх задач.

1. Найдите \(AB\)

По условию \(CF\parallel BE\), поэтому треугольники \(ABE\) и \(ACF\) подобны: \[ \triangle ABE\sim\triangle ACF. \]

Тогда: \[ \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AF}. \]

Найдём \(AF\): \[ AF=AE+EF=6+14=20\text{ см}. \]

Пусть \(AB=x\). Тогда \[ AC=AB+BC=x+35. \]

Получаем: \[ \frac{x}{x+35}=\frac{6}{20} \] \[ \frac{x}{x+35}=\frac{3}{10} \] \[ 10x=3(x+35) \] \[ 10x=3x+105 \] \[ 7x=105 \] \[ x=15. \]

Ответ: \(AB=15\) см.

2. Неизвестные стороны подобных треугольников

Дано: \[ AC=28,\quad AB=49,\quad B_1C_1=24,\quad A_1C_1=16. \]

Сторонам \(AC\) и \(BC\) соответствуют стороны \(A_1C_1\) и \(B_1C_1\), значит: \[ k=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}. \]

Находим \(BC\): \[ BC=k\cdot B_1C_1=\frac{7}{4}\cdot24=42. \]

Теперь находим \(A_1B_1\): \[ AB=k\cdot A_1B_1, \] поэтому \[ A_1B_1=\frac{AB}{k}=\frac{49}{\frac74} =49\cdot\frac47=28. \]

Ответ: \(BC=42\) см, \(A_1B_1=28\) см.

3. Биссектриса треугольника

По свойству биссектрисы: \[ \frac{AK}{KB}=\frac{AC}{BC}. \]

Подставляем данные: \[ \frac{18}{10}=\frac{45}{BC}. \]

Отсюда: \[ 18\cdot BC=450, \] \[ BC=25. \]

Ответ: \(BC=25\) см.

4. Найдите \(MK\)

Дано: \[ AM:MB=4:9,\qquad BC=26\text{ см},\qquad MK\parallel BC. \]

Пусть \[ AM=4x,\qquad MB=9x. \] Тогда \[ AB=AM+MB=13x. \]

Треугольники \(AMK\) и \(ABC\) подобны, поэтому: \[ \frac{MK}{BC}=\frac{AM}{AB}. \]

Подставляем: \[ \frac{MK}{26}=\frac{4x}{13x}=\frac{4}{13}. \]

Тогда: \[ MK=26\cdot\frac{4}{13}=8. \]

Ответ: \(MK=8\) см.

Итоговые ответы

1. \(AB=15\) см
2. \(BC=42\) см, \(A_1B_1=28\) см
3. \(BC=25\) см
4. \(MK=8\) см