6) (3 1/3 + 5 7/9) · 2 1/4 − 1 1/15 · (3 5/6 − 7/12 + 9 7/8) · 16/39

Краткий ответ: \(14\frac{59}{78}\) (это же число в виде неправильной дроби — \(\frac{1151}{78}\)).

Порядок действий такой: сначала считаем в скобках, потом выполняем умножения, в конце — вычитание. Смешанные числа переводим в неправильные дроби: \(a\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}\).

1. Первая скобка. \[ 3\frac13+5\frac79=\frac{10}{3}+\frac{52}{9}=\frac{30}{9}+\frac{52}{9}=\frac{82}{9}=9\frac19. \] Запись на листе как раз это и показывает — там всё верно.

2. Умножаем на \(2\frac14=\frac94\): \[ \frac{82}{9}\cdot\frac{9}{4}=\frac{82}{4}=\frac{41}{2}=20\frac12. \] Девятки сократились.

3. Вторая скобка. Приводим к общему знаменателю 24: \[ 3\frac56-\frac{7}{12}+9\frac78 =\frac{23}{6}-\frac{7}{12}+\frac{79}{8} =\frac{92}{24}-\frac{14}{24}+\frac{237}{24} =\frac{315}{24}=\frac{105}{8}=13\frac18. \]

4. Умножаем \(1\frac{1}{15}=\frac{16}{15}\) на эту скобку и на \(\frac{16}{39}\): \[ \frac{16}{15}\cdot\frac{105}{8}=\frac{16\cdot105}{15\cdot8}=2\cdot7=14 \] (сократили \(16:8=2\) и \(105:15=7\)). Тогда \[ 14\cdot\frac{16}{39}=\frac{224}{39}=5\frac{29}{39}. \]

5. Вычитание: \[ 20\frac12-5\frac{29}{39} =\frac{41}{2}-\frac{224}{39} =\frac{1599}{78}-\frac{448}{78} =\frac{1151}{78}=14\frac{59}{78}. \]

Проверка: \(14\frac{59}{78}+5\frac{29}{39}=14\frac{59}{78}+5\frac{58}{78}=19\frac{117}{78}=20\frac12\) — сходится с уменьшаемым. Дробь \(\frac{59}{78}\) не сокращается: \(78=2\cdot3\cdot13\), а 59 простое.

Принцип: разные знаменатели приводим к общему; при умножении сокращаем числитель с знаменателем до перемножения — так числа остаются маленькими. Ответ вышел «некруглым», но проверка подтверждает, что он верный.