Реши 4 задание с дано и решением

Question

Расшифровка фото нейросетью:
4. Расстояние от точки $M$ до каждой из вершин правильного треугольника $ABC$ равно 4см (рис. 2). Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, если $AB = 6см$.
[Рисунок: треугольник $ABC$; точка $M$ соединена с его вершинами $A$, $B$, $C$; внутри треугольника отмечена точка $O$, проведён отрезок $MO$.]

Answer

Краткий ответ: $2$ см.

Дано:

$ABC$ — правильный треугольник, $AB=6$ см;

$MA=MB=MC=4$ см;

$M$ не лежит в плоскости $ABC$.

Найти: расстояние от $M$ до плоскости $ABC$.

Решение:

1. Пусть $O$ — основание перпендикуляра из $M$ на плоскость $ABC$. Тогда $MO\perp(ABC)$, и искомое расстояние равно $MO$.

2. Так как $MA=MB=MC$, то равны и их проекции:
$$
OA=OB=OC.
$$
Значит, $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. В правильном треугольнике он совпадает с точкой пересечения медиан.

3. Радиус описанной окружности правильного треугольника со стороной $a=6$ см:
$$
R=\frac{a}{\sqrt3}=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3\ \text{см}.
$$
То есть $OA=2\sqrt3$ см.

4. Треугольник $MOA$ прямоугольный:
$$
MO^2+OA^2=MA^2.
$$
Отсюда
$$
MO=\sqrt{4^2-(2\sqrt3)^2}
=\sqrt{16-12}
=2\ \text{см}.
$$

Проверка:
$$
2^2+(2\sqrt3)^2=4+12=16=4^2.
$$

Ответ: $2$ см.

Принцип: если точка равноудалена от всех вершин треугольника, её проекция на плоскость треугольника — центр описанной окружности. Дальше высота находится по теореме Пифагора.