реши, полностью, и пиши как ты согрощал примеры

Кратко:

1. \(49b^2-56b+16=(7b-4)^2\).
   Пропуски: \(56b\), \(7b\), \(4\).
2. \(4x+2y-6;\quad -4x-7;\quad x^2+6x+9;\quad 25x^2-20xy+4y^2;\quad 16x^2-9;\quad 8x^3+84x^2y+294xy^2+343y^3\).
3. \(5b(2a-3b);\quad 2(a+1)(a-1);\quad (4x-9)(4x+9);\quad (x+2)^2;\quad (5x-y)^2;\quad (x+2)(2-3x)\).
4. \(b^2-10b=b(b-10)\); при \(b=8\) значение равно \(-16\).
5. \(37\) см².

---

Как я решал

1. Заполнить пропуски

Использую формулу квадрата разности:

\[ (A-B)^2=A^2-2AB+B^2 \]

Сравниваю:

\[ 49b^2=(7b)^2,\qquad 16=4^2 \]

Значит,

\[ (7b-4)^2=(7b)^2-2\cdot 7b\cdot 4+4^2=49b^2-56b+16 \]

Поэтому:

\[ 49b^2-\mathbf{56b}+16=(\mathbf{7b}-\mathbf{4})^2 \]

Если в твоей записи первый член не \(49b^2\), а \(4b^2\), то получится:

\[ 4b^2-16b+16=(2b-4)^2 \]

---

2. Раскрыть скобки

а)

\[ 5x-(2x-3y+7)+(x-y+1) \]

Минус перед скобкой меняет знаки:

\[ =5x-2x+3y-7+x-y+1=4x+2y-6 \]

Можно ещё вынести \(2\):

\[ 4x+2y-6=2(2x+y-3) \]

б)

\[ (x-4)-(5x+3)=x-4-5x-3=-4x-7 \]

в)

\[ (x+3)^2=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=x^2+6x+9 \]

г)

\[ (5x-2y)^2=(5x)^2-2\cdot 5x\cdot 2y+(2y)^2 \]

\[ =25x^2-20xy+4y^2 \]

д)

\[ (4x-3)(4x+3)=(4x)^2-3^2=16x^2-9 \]

е) Использую формулу куба суммы:

\[ (A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3 \]

\[ (2x+7y)^3=(2x)^3+3(2x)^2(7y)+3(2x)(7y)^2+(7y)^3 \]

\[ =8x^3+84x^2y+294xy^2+343y^3 \]

---

3. Разложить на множители

а) Общий множитель \(5b\):

\[ 10ab-15b^2=5b(2a-3b) \]

б) Общий множитель \((a+1)\):

\[ (4a-2)(a+1)-2a(a+1) \]

\[ =(a+1)(4a-2-2a) \]

\[ =(a+1)(2a-2)=2(a+1)(a-1) \]

в) Разность квадратов:

\[ 16x^2-81=(4x)^2-9^2=(4x-9)(4x+9) \]

г)

\[ x^2+4x+4=(x+2)^2 \]

д)

\[ 25x^2-10xy+y^2=(5x-y)^2 \]

е) Снова разность квадратов:

\[ (x-2)^2-4x^2=(x-2)^2-(2x)^2 \]

\[ =((x-2)-2x)((x-2)+2x) \]

\[ =(-x-2)(3x-2) \]

Это можно записать и так:

\[ (x+2)(2-3x) \]

---

4. Упростить и вычислить при \(b=8\)

\[ (b-8)^2-(64-6b) \]

Раскрываю квадрат:

\[ (b-8)^2=b^2-16b+64 \]

Тогда:

\[ b^2-16b+64-(64-6b) \]

\[ =b^2-16b+64-64+6b \]

\[ =b^2-10b \]

\[ =b(b-10) \]

При \(b=8\):

\[ 8^2-10\cdot 8=64-80=-16 \]

Проверка по исходному выражению:

\[ (8-8)^2-(64-48)=0-16=-16 \]

Ответ: \(-16\).

---

5. Площадь прямоугольника

Размеры:

\[ (7-2\sqrt{3})\text{ см} \]

и

\[ (7+2\sqrt{3})\text{ см} \]

Площадь:

\[ S=(7-2\sqrt{3})(7+2\sqrt{3}) \]

Это произведение вида \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\):

\[ S=7^2-(2\sqrt{3})^2 \]

\[ S=49-4\cdot 3=49-12=37 \]

Ответ: \(37\) см².