y x² + 5xy = −2x²

Краткий ответ

Уравнение имеет решения двух видов:

• \(x=0\) — при любом \(y\);
• при \(x\ne 0\) и \(x\ne -5\): \(y=-\frac{2x}{x+5}\).

То есть все решения — это пары \(\left(0;\,y\right)\) и \(\left(x;\,-\frac{2x}{x+5}\right)\).

Почему так

1. Переношу правую часть влево: \[ yx^{2}+5xy+2x^{2}=0. \]

2. Выношу общий множитель \(x\): \[ x\left(yx+5y+2x\right)=0. \]

3. Произведение равно нулю, значит, равен нулю хотя бы один множитель.

Случай 1: \(x=0\). Подстановка даёт \(0=0\) — подходит при любом \(y\).

Случай 2: \(x\ne 0\). Тогда \[ yx+5y+2x=0 \ \Rightarrow\ y(x+5)=-2x. \] Если \(x=-5\), получается \(0=10\) — решений нет. Если \(x\ne -5\), то \[ y=-\frac{2x}{x+5}. \]

4. Проверка подстановкой: \[ x^{2}\left(-\frac{2x}{x+5}\right)+5x\left(-\frac{2x}{x+5}\right) =\frac{-2x^{3}-10x^{2}}{x+5} =\frac{-2x^{2}(x+5)}{x+5} =-2x^{2}. \] Совпало с правой частью — решение верное.

Принцип: уравнение с двумя переменными задаёт множество пар, а не одно число. Общий множитель \(x\) разбивает его на два простых случая, которые нужно разобрать отдельно.

Если в задании требовалось выразить \(x\) через \(y\), то аналогично: \(x=0\) или \(x=-\frac{5y}{y+2}\) при \(y\ne -2\); при \(y=-2\) остаётся только \(x=0\).