458. Туюнтмалардын маанилерин тапкыла: а) 2²·(2³)⁴/2¹³; б) (5⁸)²·5⁷/5²²; в) (2⁵)²/(2⁶·4); г) 3⁷·27/(3⁴)³

Краткий ответ

№458 (найти значения выражений):

а) 2; б) 5; в) 4; г) \(\frac{1}{9}\).

Главный принцип

Все множители в числителе и знаменателе приводим к одному основанию, а дальше работают три свойства степеней:

\[ (a^{m})^{n}=a^{mn}, \qquad a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}, \qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} \]

Шаги по каждому пункту

а) \(\dfrac{2^{2}\cdot(2^{3})^{4}}{2^{13}}\)

Сначала раскрываем скобку: \((2^{3})^{4}=2^{12}\). Теперь в числителе одинаковые основания: \(2^{2}\cdot 2^{12}=2^{14}\).

\[ \frac{2^{14}}{2^{13}}=2^{14-13}=2 \]

б) \(\dfrac{(5^{8})^{2}\cdot 5^{7}}{5^{22}}\)

\((5^{8})^{2}=5^{16}\), затем \(5^{16}\cdot 5^{7}=5^{23}\).

\[ \frac{5^{23}}{5^{22}}=5^{23-22}=5 \]

в) \(\dfrac{(2^{5})^{2}}{2^{6}\cdot 4}\)

Здесь ловушка: \(4=2^{2}\), иначе основания в знаменателе разные.

\[ (2^{5})^{2}=2^{10}, \qquad 2^{6}\cdot 2^{2}=2^{8} \]

\[ \frac{2^{10}}{2^{8}}=2^{2}=4 \]

г) \(\dfrac{3^{7}\cdot 27}{(3^{4})^{3}}\)

Тоже переводим число: \(27=3^{3}\), а \((3^{4})^{3}=3^{12}\).

\[ \frac{3^{7}\cdot 3^{3}}{3^{12}}=\frac{3^{10}}{3^{12}}=3^{-2}=\frac{1}{9} \]

Отрицательная степень означает «единица делить на эту степень», поэтому \(3^{-2}=\frac{1}{3^{2}}=\frac{1}{9}\).

Проверка

В каждом пункте после сокращения осталось одно число в степени — значит, ответ считается верно, если разность показателей совпадает:

Похожее задание решается так же: сначала свести всё к одному основанию, потом сложить показатели в числителе и вычесть показатель знаменателя.