224 номер

Question

224 номер

Расшифровка фото нейросетью:
224. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) $0,8x^{2} - 19,8x - 5$; в) $x^{2} + x\sqrt{2} - 2$;
б) $3,5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^{2}$; г) $x^{2} - x\sqrt{6} + 1$.

Answer

Краткий ответ

$$
\begin{aligned}
\text{а)}\;&0{,}8x^2-19{,}8x-5=0{,}8\left(x-25\right)\left(x+\frac14\right),\[2pt]
\text{б)}\;&3{,}5-\frac{10}{3}x+\frac23x^2
=\frac23\left(x-\frac72\right)\left(x-\frac32\right),\[2pt]
\text{в)}\;&x^2+x\sqrt2-2=
\left(x-\frac{\sqrt{10}-\sqrt2}{2}\right)
\left(x+\frac{\sqrt{10}+\sqrt2}{2}\right),\[2pt]
\text{г)}\;&x^2-x\sqrt6+1=
\left(x-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\right)
\left(x-\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\right).
\end{aligned}
$$

В пункте б) учтено, что $3\frac13=\frac{10}{3}$.

Почему так

Квадратный трёхчлен раскладывается по формуле

$$
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),
$$

где $x_1,x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$. Корни находятся через дискриминант:

$$
D=b^2-4ac,\qquad
x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}.
$$

Ключевые вычисления:

1. а) $a=0{,}8,\ b=-19{,}8,\ c=-5$.

$$
D=(-19{,}8)^2-4\cdot0{,}8\cdot(-5)=408{,}04,\quad
\sqrt D=20{,}2.
$$

$$
x_{1,2}=\frac{19{,}8\pm20{,}2}{1{,}6},
$$

поэтому $x_1=25,\ x_2=-\frac14$. Значит,

$$
0{,}8x^2-19{,}8x-5=0{,}8(x-25)\left(x+\frac14\right).
$$

2. б) Сначала переставим слагаемые:

$$
\frac23x^2-\frac{10}{3}x+\frac72.
$$

$$
D=\left(-\frac{10}{3}\right)^2-4\cdot\frac23\cdot\frac72
=\frac{16}{9},\qquad \sqrt D=\frac43.
$$

$$
x_{1,2}=\frac{\frac{10}{3}\pm\frac43}{\frac43}
=\frac{10\pm4}{4},
$$

отсюда $x_1=\frac72,\ x_2=\frac32$. Поэтому

$$
3{,}5-\frac{10}{3}x+\frac23x^2
=\frac23\left(x-\frac72\right)\left(x-\frac32\right).
$$

3. в) $a=1,\ b=\sqrt2,\ c=-2$.

$$
D=(\sqrt2)^2-4\cdot1\cdot(-2)=10,
$$

$$
x_{1,2}=\frac{-\sqrt2\pm\sqrt{10}}2.
$$

Подставляем корни в $a(x-x_1)(x-x_2)$:

$$
x^2+x\sqrt2-2=
\left(x-\frac{\sqrt{10}-\sqrt2}{2}\right)
\left(x+\frac{\sqrt{10}+\sqrt2}{2}\right).
$$

4. г) $a=1,\ b=-\sqrt6,\ c=1$.

$$
D=(-\sqrt6)^2-4\cdot1\cdot1=2,
$$

$$
x_{1,2}=\frac{\sqrt6\pm\sqrt2}{2}.
$$

Значит,

$$
x^2-x\sqrt6+1=
\left(x-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\right)
\left(x-\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}\right).
$$

Проверка

В пункте а) раскрытие скобок даёт исходный трёхчлен:

$$
0{,}8(x-25)\left(x+\frac14\right)
=0{,}8x^2-19{,}8x-5.
$$

В остальных случаях удобно проверять по теореме Виета: сумма корней равна $-\frac ba$, а произведение — $\frac ca$. Например, в пункте б):

$$
\frac72+\frac32=5=-\frac{b}{a},\qquad
\frac72\cdot\frac32=\frac{21}{4}=\frac{c}{a}.
$$

Главное: если $a\neq1$, множитель $a$ перед скобками обязателен.