y′x² + 5xy = −2x²

Коротко: \[ y=-\frac{x}{3}+\frac{C}{x^5},\qquad x\ne0,\quad C\in\mathbb R. \]

На фото читаю уравнение \(y'x^2+5xy=-2x^2\).

1. Делим на \(x^2\ne0\): \[ y'+\frac{5}{x}y=-2. \]

2. Умножаем на интегрирующий множитель \(x^5\): \[ x^5y'+5x^4y=-2x^5 \] \[ (x^5y)'=-2x^5. \]

3. Интегрируем: \[ x^5y=-\frac{x^6}{3}+C. \]

4. Выражаем \(y\): \[ y=-\frac{x}{3}+\frac{C}{x^5}. \]

Проверка: \(y'=-\frac13-\frac{5C}{x^6}\), и после подстановки в исходное уравнение получаем \(-2x^2\) — верно.