Выполни номер 551
Краткий ответ:
а) \(AB=10\) см;
б) \(\dfrac{AO}{OC}=4\), \(\dfrac{BO}{OD}=4\), то есть \(4:1\).
Как решать
В трапеции \(AB\parallel CD\). Треугольники \(AOB\) и \(COD\) подобны: у них равны вертикальные углы при \(O\), а углы при основаниях равны как накрест лежащие. Поэтому
\[ \frac{AB}{CD}=\frac{BO}{OD}=\frac{AO}{OC}. \]
а) Дано \(BO=4\) см, \(OD=10\) см, \(CD=25\) см.
\[ \frac{AB}{25}=\frac{4}{10}=\frac25 \]
\[ AB=25\cdot \frac25=10\text{ см}. \]
б) Сначала переведём в одинаковые единицы:
\[ AB=9{,}6\text{ дм}=96\text{ см},\qquad CD=24\text{ см}. \]
Тогда
\[ \frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD} =\frac{96}{24}=4. \]
Значит, оба отношения равны \(4\), или \(4:1\).
Правило на будущее: диагонали трапеции делят друг друга в отношении её оснований. Перед подстановкой всегда переводи длины в одни единицы.
Обсуждение
2 сообщенияРеши с чертежами и дано и решение
№ 551
Дано:
\(ABCD\) — трапеция, \(AB\parallel CD\).
Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).
а) \(OB=4\) см, \(OD=10\) см, \(DC=25\) см.
б) \(AB=9{,}6\) дм, \(DC=24\) см.
Найти:
а) \(AB\);
б) \(\dfrac{AO}{OC}\) и \(\dfrac{BO}{OD}\).
Чертёж (схема, не в масштабе):
A──────────B
|\ /|
| \ / |
| \ / |
| \ / |
| \/ |
| O |
| / \ |
| / \ |
| / \ |
D──────────C
AB ∥ CD, AC и BD — диагонали, O — точка их пересечения.
Решение:
Так как \(AB\parallel CD\), то треугольники \(AOB\) и \(COD\) подобны:
\[ \triangle AOB \sim \triangle COD. \]
Из подобия следует:
\[ \frac{AB}{CD}=\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}. \]
а) Подставляем данные:
\[ \frac{AB}{25}=\frac{4}{10}. \]
\[ AB=25\cdot \frac{4}{10}=10\text{ см}. \]
б) Сначала переведём длину \(AB\) в сантиметры:
\[ AB=9{,}6\text{ дм}=96\text{ см}. \]
Тогда
\[ \frac{AB}{CD}=\frac{96}{24}=4. \]
Значит,
\[ \frac{AO}{OC}=4,\qquad \frac{BO}{OD}=4. \]
То есть оба отношения равны \(4:1\).
Ответ:
а) \(AB=10\) см;
б) \(\dfrac{AO}{OC}=4\), \(\dfrac{BO}{OD}=4\), или \(4:1\) и \(4:1\).
