Кантип чыгарылганын тушундур

Question

Расшифровка фото нейросетью:
№5.108
$\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt{3}$
$\frac{\alpha}{2}=\mathrm{arcctg}\sqrt{3}+\pi k, k\in Z$
$\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{6}+\pi k, k\in Z$
$\alpha=\frac{\pi}{3}+2\pi k, k\in Z$

1. $\mathrm{tg}2x=\sqrt{3}$
$2x=\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z$
$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z$

2. $\mathrm{ctg}x=-\sqrt{3}$
$x=\pi-\frac{\pi}{6}+\pi k, k\in Z$
$x=\frac{5\pi}{6}+\pi k, k\in Z$

3. $\mathrm{tg}(3x+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}$
$3x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\pi k, k\in Z$
$3x=\frac{\pi}{6}+\pi k, k\in Z$
$x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3}, k\in Z$

4. $\mathrm{ctg}(2x+45^\circ)=-1$
$2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+\pi k, k\in Z$
$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k, k\in Z$
$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}, k\in Z$

Answer

Кыскача: бул жерде жөнөкөй тригонометриялык теңдемелердин жалпы формулалары колдонулган:

$$
\mathrm{tg}\,u=a \Rightarrow u=\mathrm{arctg}\,a+\pi k,
\qquad
\mathrm{ctg}\,u=a \Rightarrow u=\mathrm{arcctg}\,a+\pi k,
\quad k\in\mathbb Z.
$$

$\pi k$ дегенибиз — $\mathrm{tg}$ жана $\mathrm{ctg}$ функциялары $\pi$ мезгил менен кайталанат. Ошондуктан бардык жоопторго $+ \pi k$ кошулат. Эгер аргумент $2x$, $3x$ же $\frac{\alpha}{2}$ болсо, адегенде кашаанын ичин табабыз, анан $x$-ти же $\alpha$-ны бөлүп чыгарабыз.

1) $\mathrm{tg}\,2x=\sqrt3$

$\mathrm{arctg}\sqrt3=\frac{\pi}{3}$, анткени $\mathrm{tg}\frac{\pi}{3}=\sqrt3$.

$$
2x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z
$$

Эми эки тарапты 2ге бөлөбүз:

$$
x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.
$$

2) $\mathrm{ctg}\,x=-\sqrt3$

$$
x=\mathrm{arcctg}(-\sqrt3)+\pi k.
$$

$\mathrm{arcctg}\sqrt3=\frac{\pi}{6}$, ал эми терс мааниде бурч экинчи чейректе болот:

$$
\mathrm{arcctg}(-\sqrt3)=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.
$$

Демек:

$$
x=\frac{5\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.
$$

Сүрөттө бул $x=\pi-\frac{\pi}{6}+\pi k$ деп жазылган — ошол эле жооп.

3) $\mathrm{tg}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$

Адегенде кашаанын ичин табабыз:

$$
3x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\pi k.
$$

Андан кийин $\frac{\pi}{6}$-ны оң жакка өткөрөбүз:

$$
3x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}+\pi k
=\frac{\pi}{6}+\pi k.
$$

Эми 3кө бөлөбүз:

$$
x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.
$$

4) $\mathrm{ctg}(2x+45^\circ)=-1$

$45^\circ=\frac{\pi}{4}$. $\mathrm{arcctg}(-1)=\frac{3\pi}{4}$, анткени $\mathrm{ctg}\frac{3\pi}{4}=-1$.

$$
2x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+\pi k.
$$

$$
2x=\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{4}+\pi k
=\frac{\pi}{2}+\pi k.
$$

$$
x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.
$$

5) $\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt3$

$$
\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{6}+\pi k.
$$

Эки тарапты 2ге көбөйтөбүз. Период да эки эсе чоңоёт, ошондуктан $\pi k$ эмес, $2\pi k$ болот:

$$
\alpha=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.
$$

Текшерүү

Мисалы, $x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2}$ болгондо:

$$
2x=\frac{\pi}{3}+\pi k.
$$

$\mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{3}+\pi k\right)=\sqrt3$, анткени $\mathrm{tg}$ функциясынын периоду $\pi$. Калган теңдемелер да ушундайча текшерилет.

Эң негизги эреже: аргументти жалпы формула менен тап → $x$ же $\alpha$ үчүн сызыктуу теңдемени чыгар → $k\in\mathbb Z$ деп жаз.

Кантип чыгарылганын тушундур

1) \(\mathrm{tg}\,2x=\sqrt3\)

2) \(\mathrm{ctg}\,x=-\sqrt3\)

3) \(\mathrm{tg}\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\)

4) \(\mathrm{ctg}(2x+45^\circ)=-1\)

5) \(\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}=\sqrt3\)

Текшерүү

Обсуждение

№108. \(\operatorname{ctg}\frac{x}{2}=\sqrt3\)

1) \(\tan 2x=\sqrt3\)

3) \(\tan\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt3}{3}\)

8) \(\operatorname{ctg}x=-\sqrt3\)

10) \(\operatorname{ctg}(2x+45^\circ)=-1\)