Самостоятельная работа 12.1 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Вариант 3 Решите уравнение: 1) 5ˣ = 125; 2) (0,7)ˣ = 0,49; 3) (3/4)ˣ = 81/256; 4) 3²ˣ⁺¹ = 243;
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Самостоятельная работа 12.1 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Вариант 3 Решите уравнение:
- \(5^x = 125\);
- \((0{,}7)^x = 0{,}49\);
- \(\left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{81}{256}\);
- \(3^{2x+1} = 243\);
- \(49 \cdot 7^x = 1\);
- \(9^{2x} = 17^x\);
- \(5^{x+3} + 5^x - 5^{x+1} = 121\);
- \(16^x + 15 \cdot 4^x - 16 = 0\).
Краткий ответ: 1) \(x=3\); 2) \(x=2\); 3) \(x=4\); 4) \(x=2\); 5) \(x=-2\); 6) \(x=0\); 7) \(x=0\); 8) \(x=0\).
Главный приём: если \(a>0,\ a\ne1\), то из \(a^{f(x)}=a^{g(x)}\) следует \(f(x)=g(x)\).
\(5^x=125=5^3\), поэтому \(x=3\).
\(0{,}49=(0{,}7)^2\), значит \(x=2\).
\(\frac{81}{256}=\left(\frac{3}{4}\right)^4\), значит \(x=4\).
\(243=3^5\), поэтому \(2x+1=5\), откуда \(x=2\).
\(49\cdot7^x=1\). Так как \(49=7^2\): \[ 7^{x+2}=7^0,\qquad x+2=0,\qquad x=-2. \]
\(9^{2x}=(9^2)^x=81^x\). Тогда \[ 81^x=17^x \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{81}{17}\right)^x=1. \] Основание не равно \(1\), значит \(x=0\).
Вынесем \(5^x\): \[ 5^{x+3}+5^x-5^{x+1}=5^x(125+1-5)=121\cdot5^x. \] Получаем \(121\cdot5^x=121\), то есть \(5^x=1\), значит \(x=0\).
Пусть \(t=4^x>0\). Тогда \(16^x=t^2\): \[ t^2+15t-16=0,\qquad (t+16)(t-1)=0. \] Подходит только \(t=1\), то есть \(4^x=1\), откуда \(x=0\).
Проверка подстановкой подтверждает ответы: например, в 5) \(49\cdot7^{-2}=1\), в 8) \(1+15-16=0\).
