Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как это получается

Шаг 1. Замечаем закономерность. У уравнения вида \(x^2+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь:

\[ x_1+x_2=5,\qquad x_1\cdot x_2=6 \]

Шаг 2. Подбираем пару чисел. Произведение 6 дают пары: \(1\) и \(6\), \(2\) и \(3\). Проверяем сумму: \(1+6=7\) — не подходит, а \(2+3=5\) — то, что нужно. Значит, корни \(2\) и \(3\).

Шаг 3. Тот же результат через разложение на множители. Ищем два числа с суммой \(-5\) и произведением \(6\) — это \(-2\) и \(-3\):

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой:

\[ x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2, \qquad x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3 \]

Шаг 4. Проверка подстановкой.

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \] \[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба раза получился ноль — корни верные.

Если нужен универсальный способ (он работает всегда, даже когда числа не подбираются): дискриминант

\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\qquad x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2} \]

то есть \(x_1=\frac{5-1}{2}=2\), \(x_2=\frac{5+1}{2}=3\) — тот же ответ.

Главная идея: сначала попробуй разложить на множители по сумме и произведению корней, а дискриминант держи в запасе.