1. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) x² + x - 42; б) 6x² + x - 22.

Кратко

1. а) \(x^2+x-42=(x-6)(x+7)\);
   б) \(6x^2+x-22=(6x-11)(x+2)\).
2. Если в задании требуется область значений:
   а) \([0;+\infty)\);
   б) \((-\infty;0)\).
3. График \(y=x^2-x-2\) — парабола с вершиной \((0{,}5;-2{,}25)\), нулями \(x=-1\) и \(x=2\).
   По графику: \(y(-1)=0\), \(y(5)=18\).

Как решать

1. Квадратный трёхчлен раскладывают по формуле
   \[ ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), \] где \(x_1,x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

а) \(x^2+x-42=0\): \[ D=1+168=169=13^2, \] \[ x_{1,2}=\frac{-1\pm13}{2}, \] то есть \(x_1=6,\ x_2=-7\). Значит, \[ x^2+x-42=(x-6)(x+7). \]

б) \(6x^2+x-22=0\): \[ D=1+528=529=23^2, \] \[ x_{1,2}=\frac{-1\pm23}{12}, \] отсюда \(x_1=\frac{11}{6},\ x_2=-2\). Поэтому \[ 6x^2+x-22=6\left(x-\frac{11}{6}\right)(x+2)=(6x-11)(x+2). \]

2. а) \(y=3x^2\). Так как \(x^2\ge0\), то \(y\ge0\). Любое неотрицательное значение достигается, поэтому область значений — \([0;+\infty)\).

б) \(y=-\frac{2}{(x-1)^2}\). Квадрат \((x-1)^2>0\) при \(x\ne1\), дробь положительна, а перед ней стоит минус, значит \(y<0\). Можно получить любое отрицательное число, поэтому область значений — \((-\infty;0)\).

3. Для \(y=x^2-x-2\): \[ x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}, \] \[ y_0=\left(\frac12\right)^2-\frac12-2=-2{,}25. \] Корни: \(x=-1\) и \(x=2\). Удобные точки для графика:

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x & -2 & -1 & 0 & 0{,}5 & 1 & 2 & 3\\ \hline y & 4 & 0 & -2 & -2{,}25 & -2 & 0 & 4 \end{array} \]

Соединяем эти точки плавной параболой. По графику при \(x=-1\) получаем \(y=0\), а при \(x=5\): \[ y(5)=25-5-2=18. \]

Если в №2 на фото имеется в виду область определения, то: а) ограничений нет, \(x\in\mathbb R\); б) знаменатель не равен нулю, то есть \(x\ne1\) при \((x-1)^2\) в знаменателе.