номер 177.

Краткий ответ: второй догонит первого через \(8\) дней после своего выхода — это будет \(9\)-й день пути первого.

Пусть \(x\) — число дней, которое второй был в пути. К моменту его выхода первый уже прошёл \(40\) вёрст, то есть находился в пути на день больше.

Расстояния к моменту встречи равны:

\[ 45x=40(x+1) \]

Решаем:

\[ 45x=40x+40 \]

\[ 5x=40 \]

\[ x=8 \]

Значит, второй догонит первого через \(8\) дней после того, как выйдет сам.

Проверка:
Первый за \(9\) дней пройдёт

\[ 40\cdot 9=360 \]

вёрст.
Второй за \(8\) дней пройдёт

\[ 45\cdot 8=360 \]

вёрст. Расстояния совпали.

Принцип: при движении вдогонку можно найти скорость сближения:

\[ 45-40=5 \text{ вёрст в день} \]

Начальное отставание — \(40\) вёрст, поэтому нужно

\[ 40:5=8 \]

дней. Если считать от выхода первого, то прошло \(9\) дней.