378 Решить уравнение (378—380). 1) log_(1/2)(7 − 8x) = −2; 2) lg(x² − 2) = lg x.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
378 Решить уравнение (378—380).
- \(\log_{\frac{1}{2}}(7-8x)=-2\);
- \(\lg(x^2-2)=\lg x\).
Ответ:
- \(x=\dfrac{3}{8}\);
- \(x=2\).
Как решать
\[ \log_{\frac12}(7-8x)=-2 \] Сначала ОДЗ: \[ 7-8x>0 \quad\Rightarrow\quad x<\frac78. \] По определению логарифма: \[ 7-8x=\left(\frac12\right)^{-2}=4. \] Тогда: \[ 8x=3,\qquad x=\frac38. \] Проверка: \(7-8\cdot\frac38=4\), а \(\log_{\frac12}4=-2\). Корень подходит.
\[ \lg(x^2-2)=\lg x \] ОДЗ: \[ x>0,\qquad x^2-2>0 \quad\Rightarrow\quad x>\sqrt2. \] Так как логарифмы равны и имеют одинаковое основание, равны их аргументы: \[ x^2-2=x. \] \[ x^2-x-2=0, \] \[ (x-2)(x+1)=0. \] Получаем \(x=2\) или \(x=-1\). Корень \(x=-1\) не подходит по ОДЗ, потому что \(x>0\). Остаётся: \[ x=2. \] Проверка: \(\lg(2^2-2)=\lg2\).
Принцип: сначала находим ОДЗ, затем убираем логарифмы по их определению или из равенства логарифмов, а найденные корни обязательно проверяем по ОДЗ.
Обсуждение
3 сообщения378 номер
382
Решаю № 382.
Ответ:
- \(\displaystyle x\in\left(\frac65;\frac54\right)\);
- решений нет, \(x\in\varnothing\).
1) \(\log_3(5-4x)<\log_3(x-1)\)
Сначала ОДЗ: \[ 5-4x>0,\qquad x-1>0. \] Отсюда: \[ x<\frac54,\qquad x>1, \] то есть \[ 1<x<\frac54. \]
Основание логарифма \(3>1\), значит знак неравенства сохраняется: \[ 5-4x<x-1. \] Решаем: \[ 6<5x, \] \[ x>\frac65. \]
Пересекаем с ОДЗ: \[ x\in\left(\frac65;\frac54\right). \]
2) \(\log_{0{,}3}(2x+5)\ge \log_{0{,}3}(x+1)\)
ОДЗ: \[ 2x+5>0,\qquad x+1>0. \] То есть: \[ x>-1. \]
Основание \(0{,}3<1\), поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: \[ 2x+5\le x+1. \] \[ x\le -4. \]
Но по ОДЗ должно быть \(x>-1\). Число не может быть одновременно больше \(-1\) и не больше \(-4\). Поэтому решений нет: \[ x\in\varnothing. \]
Главное правило: в логарифмических неравенствах сначала находим ОДЗ, а при основании \(0<a<1\) знак неравенства меняем на противоположный.
