416. Упростите выражение:

На фото несколько упражнений, поэтому ниже решаю все читаемые пункты. В 419 б) под корнем число закрыто ручкой — его не восстанавливаю.

Краткие ответы: 416 а) \(2\); б) \(-12\); 417 а) \(6{,}3\); б) \(-19{,}9\); 418 а) \(x=\frac{2}{3}\); б) \(x=\frac{512}{5}\); 419 а), в), г) — иррациональные числа.

416. Упростить выражение

а) \[ \left(\frac{1}{4}\sqrt{3}+\frac{1}{3}\sqrt{2}\right)3\sqrt{2}-\frac{3}{4}\sqrt{6} =\frac{3}{4}\sqrt{6}+2-\frac{3}{4}\sqrt{6}=2. \]

б) \[ (0{,}5\sqrt{6}-\sqrt{3})4\sqrt{3}-2\sqrt{18} =2\sqrt{18}-12-2\sqrt{18}=-12. \]

Здесь работает правило \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\).

417. Упростить выражение

а) Раскрываем квадрат разности: \[ (2\sqrt{1{,}2}-\sqrt{1{,}5})^2 =4{,}8-4\sqrt{1{,}8}+1{,}5. \] Прибавляем \(4\sqrt{1{,}8}\): \[ 4{,}8-4\sqrt{1{,}8}+1{,}5+4\sqrt{1{,}8}=6{,}3. \]

б) Раскрываем квадрат суммы: \[ (5\sqrt{0{,}7}+2\sqrt{0{,}6})^2 =17{,}5+20\sqrt{0{,}42}+2{,}4. \] Тогда \[ 20\sqrt{0{,}42}-(19{,}9+20\sqrt{0{,}42})=-19{,}9. \]

418. Решить уравнения

а) \[ (\sqrt{6x}-2)^2=\sqrt{3}(\sqrt{2x}-\sqrt{12})+6x. \] Раскрываем: \[ 6x-4\sqrt{6x}+4=\sqrt{6x}-6+6x. \] Пусть \(t=\sqrt{6x}\ge0\). Тогда \[ -4t+4=t-6 \quad\Rightarrow\quad t=2. \] Значит, \[ \sqrt{6x}=2 \quad\Rightarrow\quad 6x=4 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{3}. \]

б) Слева разность квадратов: \[ 7x-20=7x-\sqrt{2}(\sqrt{5x}-\sqrt{72}). \] Раскрываем правую часть: \[ 7x-20=7x-\sqrt{10x}+12. \] Отсюда \[ \sqrt{10x}=32 \quad\Rightarrow\quad 10x=1024 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{512}{5}. \]

Оба найденных \(x\) неотрицательны, то есть входят в область допустимых значений.

419. Доказать иррациональность

Действуем от противного: предполагаем, что число рационально, и получаем противоречие.

а) Пусть \[ q=\sqrt{2}+\sqrt{5}\in\mathbb{Q}. \] Тогда \[ q^2=7+2\sqrt{10}, \] откуда \[ \sqrt{10}=\frac{q^2-7}{2}\in\mathbb{Q}. \] Но \(\sqrt{10}\) иррационально. Противоречие.

в) Пусть \[ q=\sqrt{7}+\sqrt{6}+1\in\mathbb{Q}. \] Тогда \(q-1=\sqrt{7}+\sqrt{6}\) — рациональное число. Возводим в квадрат: \[ (q-1)^2=13+2\sqrt{42}. \] Значит, \(\sqrt{42}\) было бы рациональным, а это неверно. Противоречие.

г) Пусть \[ q=\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{6}\in\mathbb{Q}. \] Тогда \[ q-\sqrt{6}=\sqrt{3}+\sqrt{5}. \] После возведения в квадрат: \[ q^2-2q\sqrt{6}+6=8+2\sqrt{15}, \] то есть \[ c:=q\sqrt{6}+\sqrt{15}=\frac{q^2-2}{2}\in\mathbb{Q}. \] Но \[ c^2=6q^2+15+2q\sqrt{90}. \] Так как \(q\ne0\), отсюда следовало бы, что \(\sqrt{90}\in\mathbb{Q}\), а это неверно. Противоречие.

419 б) не решаю: под чёрным предметом не видно подкоренное число. Нужен более чёткий фрагмент именно этого пункта.