реши графически уравнения ×3=3*×
Краткий ответ
Читаю запись как \(x^3 = 3x\). Графически — это точки пересечения графиков \(y = x^3\) и \(y = 3x\):
\[ x_1 = -\sqrt{3}\approx -1{,}73,\qquad x_2 = 0,\qquad x_3 = \sqrt{3}\approx 1{,}73. \]
Как это делается (принцип графического метода)
- Разбиваем уравнение на две функции. Всё, что слева, — одна функция, всё, что справа, — другая: \[ y = x^3 \quad\text{и}\quad y = 3x. \]
- Строим оба графика в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.
- Сколько точек пересечения — столько корней. Здесь их три.
Таблица значений (берём и отрицательные, и положительные \(x\)):
| \(x\) | \(-2\) | \(-1{,}5\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(2\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y=x^3\) | \(-8\) | \(-3{,}4\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(3{,}4\) | \(8\) |
| \(y=3x\) | \(-6\) | \(-4{,}5\) | \(-3\) | \(0\) | \(3\) | \(4{,}5\) | \(6\) |
Кубическая кривая \(y=x^3\) проходит через начало координат и круто уходит вверх при \(x>0\) и вниз при \(x<0\); прямая \(y=3x\) идёт через начало координат с наклоном 3.
По графику видно три пересечения:
- слева: \(x \approx -1{,}7\), при этом \(y \approx -5{,}2\);
- в начале координат: \((0;0)\);
- справа: \(x \approx 1{,}7\), при этом \(y \approx 5{,}2\).
Проверка
Подставим найденные корни: \[ (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} = 3\cdot\sqrt{3}\ \checkmark,\qquad (-\sqrt{3})^3 = -3\sqrt{3} = 3\cdot(-\sqrt{3})\ \checkmark,\qquad 0^3 = 3\cdot 0\ \checkmark. \]
И алгебраически: \[ x^3 - 3x = x\,(x^2-3)=0 \;\Rightarrow\; x = 0,\; x = \pm\sqrt{3}. \]
График подтверждает счёт: приближённые \(-1{,}7\) и \(1{,}7\) — это и есть \(\pm\sqrt{3}\).
Вывод: графический метод не даёт точных значений «на глаз», поэтому по графику мы находим приближённые корни, а затем проверяем их подстановкой или разложением на множители.
