Вариант 2 1. Решите систему уравнений 2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2

1. Решите систему уравнений
$3x-5y=2$,
$x+y=10$.

2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

3. Изобразите графики уравнений и выясните, сколько решений имеет система уравнений
$x+y=5$,
$x-y=1$.

4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы $y=x^2$ и прямой $y=x+2$.

5. Решите систему уравнений
$x^2+xy=10$,
$y^2+xy=15$.

Answer

Кратко:

1. $x=6{,}5,\ y=3{,}5$.

2. Стороны: $3$ см и $4$ см.

3. Одно решение.

4. Точки пересечения: $(2;4)$ и $(-1;1)$.

5. Решения: $(2;3)$ и $(-2;-3)$.

Как это получается

1. Решаем систему:
$$
\begin{cases}
3x-5y=2,\
x+y=10.
\end{cases}
$$
Из второго уравнения $y=10-x$. Подставляем:
$$
3x-5(10-x)=2,
$$
$$
3x-50+5x=2,\qquad 8x=52,\qquad x=6{,}5.
$$
Тогда
$$
y=10-6{,}5=3{,}5.
$$
Проверка: $3\cdot6{,}5-5\cdot3{,}5=19{,}5-17{,}5=2$.

2. Пусть стороны прямоугольника $a$ и $b$. Тогда
$$
2(a+b)=14 \Rightarrow a+b=7.
$$
Диагональ даёт:
$$
a^2+b^2=5^2=25.
$$
Используем формулу $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$:
$$
7^2=25+2ab \Rightarrow 49=25+2ab \Rightarrow ab=12.
$$
Значит, $a$ и $b$ — корни уравнения
$$
t^2-7t+12=0.
$$
Получаем $t=3$ и $t=4$. Стороны: $3$ см и $4$ см.

3. На фото прямые $x+y=5$ и $x-y=1$. Строим их по двум точкам:

$x+y=5$: точки $(0;5)$ и $(5;0)$;

$x-y=1$: точки $(0;-1)$ и $(1;0)$.

Прямые не параллельны и пересекаются в одной точке $(3;2)$. Значит, система имеет одно решение.

4. В точках пересечения значения $y$ равны:
$$
x^2=x+2.
$$
$$
x^2-x-2=0,
$$
$$
(x-2)(x+1)=0.
$$
Отсюда $x=2$ или $x=-1$. Тогда $y=4$ или $y=1$. Точки: $(2;4)$ и $(-1;1)$.

5. Решаем систему:
$$
\begin{cases}
x^2+xy=10,\
y^2+xy=15.
\end{cases}
$$
Вынесем общий множитель:
$$
x(x+y)=10,\qquad y(x+y)=15.
$$
Так как правые части не равны нулю, $x+y\neq0$. Разделим уравнения:
$$
\frac{y}{x}=\frac{15}{10}=\frac32.
$$
Пусть $x=2k,\ y=3k$. Тогда $x+y=5k$, и первое уравнение даёт:
$$
2k\cdot5k=10 \Rightarrow 10k^2=10 \Rightarrow k^2=1.
$$
Отсюда $k=1$ или $k=-1$. Получаем пары $(2;3)$ и $(-2;-3)$.