решы все
Сверь числа и знаки с фото.
УРАВНЕНИЯ С СУММОЙ И РАЗНОСТЬЮ ЛОГАРИФМОВ
- \(\log_{2}(x+1)+\log_{2}(x-1)=3\)
- \(\log_{4}(x)+\log_{4}(x-3)=2\)
- \(\log_{2}x+\log_{2}(x+2)=3\)
- \(\log_{3}x-\log_{3}(x-2)=1\)
- \(\log_{2}(x+5)-\log_{2}(x-1)=2\)
- \(\log_{2}x+\log_{2}(x-3)=3\)
- \(\log_{2}(x+2)+\log_{2}(x-2)=3\)
- \(\log_{3}(x+2)-\log_{3}(x-2)=1\)
- \(\log_{5}(x+3)+\log_{5}(x-3)=2\)
- \(\log_{2}x+\log_{4}x=6\)
- \(\log_{3}x+\log_{9}x=3\)
- \(\log_{2}x+\log_{2}3=3\)
- \(\log_{3}x+\log_{3}2=2\)
- \(\log_{5}x+\log_{5}4=1\)
- \(\log_{2}(x+1)+\log_{2}2=3\)
- \(\log_{3}(x-2)+\log_{3}3=2\)
- \(\log_{2}x-\log_{2}2=1\)
- \(\log_{3}x-\log_{3}3=-1\)
- \(\log_{5}x-\log_{5}5=0\)
- \(\log_{2}(x+3)-\log_{2}2=2\)
- \(\log_{3}(x-1)-\log_{3}3=1\)
- \(\log_{2}x+\log_{2}(x-1)=3\)
- \(\log_{3}(x+2)-\log_{3}(x-2)=1\)
- \(\log_{5}(x+3)+\log_{5}(x-3)=2\)
- \(\log_{2}x+\log_{2}(x-2)=3\)
- \(\log_{2}(x+3)+\log_{2}(x-1)=4\)
- \(\log_{3}(2x+1)+\log_{3}(x-2)=3\)
- \(\log_{2}x-\log_{2}(x-2)=1\)
- \(\log_{5}(x+3)-\log_{5}(x-1)=1\)
- \(\log_{2}(x-1)-\log_{2}(x+1)=-1\)
- \(\log_{3}(2x-1)-\log_{3}(x+2)=0\)
Кратко: все корни — в последнем столбце таблицы. Они уже проверены по ОДЗ.
| № | Ключевое уравнение | Ответ |
|---|---|---|
| 1 | \((x+1)(x-1)=8\) | \(3\) |
| 2 | \(x(x-3)=16\) | \(\dfrac{3+\sqrt{73}}{2}\) |
| 3 | \(x(x+2)=8\) | \(2\) |
| 4 | \(\dfrac{x}{x-2}=3\) | \(3\) |
| 5 | \(\dfrac{x+5}{x-1}=4\) | \(3\) |
| 6 | \(x(x-3)=8\) | \(\dfrac{3+\sqrt{41}}{2}\) |
| 7 | \((x+2)(x-2)=8\) | \(2\sqrt{3}\) |
| 8 | \(\dfrac{x+2}{x-2}=3\) | \(4\) |
| 9 | \((x+3)(x-3)=25\) | \(\sqrt{34}\) |
| 10 | \(\dfrac32\log_2 x=6\) | \(16\) |
| 11 | \(\dfrac32\log_3 x=3\) | \(9\) |
| 12 | \(3x=8\) | \(\dfrac83\) |
| 13 | \(2x=9\) | \(\dfrac92\) |
| 14 | \(4x=5\) | \(\dfrac54\) |
| 15 | \(2(x+1)=8\) | \(3\) |
| 16 | \(3(x-2)=9\) | \(5\) |
| 17 | \(\dfrac{x}{2}=2\) | \(4\) |
| 18 | \(\dfrac{x}{3}=\dfrac13\) | \(1\) |
| 19 | \(\dfrac{x}{5}=1\) | \(5\) |
| 20 | \(\dfrac{x+3}{2}=4\) | \(5\) |
| 21 | \(\dfrac{x-1}{3}=3\) | \(10\) |
| 22 | \(x(x-1)=8\) | \(\dfrac{1+\sqrt{33}}{2}\) |
| 23 | \(\dfrac{x+2}{x-2}=3\) | \(4\) |
| 24 | \((x+3)(x-3)=25\) | \(\sqrt{34}\) |
| 25 | \(x(x-2)=8\) | \(4\) |
| 26 | \((x+3)(x-1)=16\) | \(2\sqrt5-1\) |
| 27 | \((2x+1)(x-2)=27\) | \(\dfrac{3+\sqrt{241}}{4}\) |
| 28 | \(\dfrac{x}{x-2}=2\) | \(4\) |
| 29 | \(\dfrac{x+3}{x-1}=5\) | \(2\) |
| 30 | \(\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac12\) | \(3\) |
| 31 | \(\dfrac{2x-1}{x+2}=1\) | \(3\) |
Как решать такие уравнения
Сначала обязательно ОДЗ: выражения под логарифмами должны быть положительными.
Сумму и разность логарифмов с одинаковым основанием сворачиваем:
\[ \log_a A+\log_a B=\log_a(AB), \qquad \log_a A-\log_a B=\log_a\frac{A}{B}. \]
Затем убираем логарифм по определению:
\[ \log_a t=c \iff t=a^c. \]
После этого решаем обычное уравнение и отбрасываем корни, которые не входят в ОДЗ.
Пример 1 — сумма:
\[ \log_2(x+1)+\log_2(x-1)=3,\qquad x>1. \]
\[ \log_2\bigl((x+1)(x-1)\bigr)=3, \]
\[ (x+1)(x-1)=2^3=8, \]
\[ x^2-1=8 \Rightarrow x^2=9. \]
Подходит только \(x=3\), так как \(-3\) не входит в \(x>1\).
Проверка:
\[ \log_2 4+\log_2 2=2+1=3. \]
Пример 2 — разность:
\[ \log_2(x+5)-\log_2(x-1)=2,\qquad x>1. \]
\[ \log_2\frac{x+5}{x-1}=2, \]
\[ \frac{x+5}{x-1}=4. \]
\[ x+5=4x-4 \Rightarrow 3x=9 \Rightarrow x=3. \]
Пример 3 — разные основания:
В №10:
\[ \log_4 x=\frac12\log_2 x. \]
Поэтому:
\[ \log_2 x+\frac12\log_2 x=6, \]
\[ \frac32\log_2 x=6, \]
\[ \log_2 x=4 \Rightarrow x=16. \]
Если после сворачивания получается квадратное уравнение, решаем его через дискриминант и оставляем только корень из ОДЗ — поэтому в ответах есть \(\sqrt{73}\), \(\sqrt{41}\), \(\sqrt{241}\) и т. п.
