1. Решите систему уравнений {x - 5y = 2, x² - y = 10.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Вариант 2

1. Решите систему уравнений
$$
\begin{cases}
x-5y=2,\
x^2-y=10.
\end{cases}
$$

2. Периметр прямоугольника равен 14 см, а его диагональ равна 5 см. Найдите стороны прямоугольника.

3. Изобразите схематически графики уравнений и выясните, сколько решений имеет система уравнений
$$
\begin{cases}
x^2+y^2=16,\
x^2+y=4.
\end{cases}
$$

4. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы $y=x^2+3$ и окружности $x^2+y^2=17$.

5. Решите систему уравнений
$$
\begin{cases}
x^2+xy=10,\
y^2+xy=15.
\end{cases}
$$

Answer

Ниже — решения всех пяти заданий варианта.

Кратко

1. $\left(\frac{16}{5};\frac{6}{25}\right)$, $(-3;-1)$.

2. $3$ см и $4$ см.

3. Система имеет $3$ решения: $(0;4)$, $(\sqrt7;-3)$, $(-\sqrt7;-3)$.

4. $(1;4)$, $(-1;4)$.

5. $(2;3)$, $(-2;-3)$.

1. Система
$$
\begin{cases}
x-5y=2,\
x^2-y=10.
\end{cases}
$$
Из первого уравнения $x=5y+2$. Подставляем:
$$
(5y+2)^2-y=10,
$$
$$
25y^2+19y-6=0.
$$
Дискриминант:
$$
D=19^2-4\cdot25\cdot(-6)=961=31^2.
$$
Тогда
$$
y=\frac{-19\pm31}{50}.
$$
Получаем $y=\frac{6}{25}$ или $y=-1$. Соответственно:
$$
x=5\cdot\frac{6}{25}+2=\frac{16}{5},\qquad x=5\cdot(-1)+2=-3.
$$

2. Стороны прямоугольника

Пусть стороны $a$ и $b$. Тогда
$$
2(a+b)=14 \Rightarrow a+b=7,
$$
а диагональ даёт
$$
a^2+b^2=5^2=25.
$$
Так как
$$
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab,
$$
то
$$
49=25+2ab \Rightarrow ab=12.
$$
Значит, $a$ и $b$ — корни уравнения
$$
t^2-7t+12=0.
$$
Они равны $3$ и $4$. Стороны прямоугольника: $3$ см и $4$ см.

3. Сколько решений имеет система

Первое уравнение — окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $4$. Второе уравнение можно записать как
$$
y=4-x^2,
$$
это парабола с вершиной $(0;4)$, ветви направлены вниз. На схематическом рисунке окружность и парабола пересекаются в трёх точках.

Найдём их:
$$
x^2+y^2=16,\qquad y=4-x^2.
$$
Отсюда $x^2=4-y$, поэтому
$$
4-y+y^2=16,
$$
$$
y^2-y-12=0.
$$
Корни: $y=4$ и $y=-3$. При $y=4$ получаем $x=0$. При $y=-3$:
$$
x^2=7 \Rightarrow x=\pm\sqrt7.
$$
То есть решений три.

4. Пересечение параболы и окружности

Парабола:
$$
y=x^2+3 \Rightarrow x^2=y-3.
$$
Окружность:
$$
x^2+y^2=17.
$$
Подставляем:
$$
y-3+y^2=17,
$$
$$
y^2+y-20=0.
$$
Корни:
$$
y=4,\qquad y=-5.
$$
Так как $x^2=y-3$, значение $x^2$ не может быть отрицательным, поэтому $y=-5$ не подходит. При $y=4$:
$$
x^2=4-3=1 \Rightarrow x=\pm1.
$$
Точки пересечения: $(1;4)$ и $(-1;4)$.

5. Система
$$
\begin{cases}
x^2+xy=10,\
y^2+xy=15.
\end{cases}
$$
Сложим уравнения:
$$
x^2+y^2+2xy=25,
$$
$$
(x+y)^2=25,
$$
значит,
$$
x+y=5 \quad \text{или} \quad x+y=-5.
$$
Вычтем уравнения:
$$
x^2-y^2=-5,
$$
$$
(x-y)(x+y)=-5.
$$

Если $x+y=5$, то $x-y=-1$. Тогда
$$
x=2,\quad y=3.
$$

Если $x+y=-5$, то $x-y=1$. Тогда
$$
x=-2,\quad y=-3.
$$

Обе пары подходят при проверке.