1) Даны две параллельные плоскости α и β и не лежащая между ними точка P. Две прямые, проходящие через точку P, пересекают плоскость α в точках A1 и A2
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа 6-2
- Даны две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) и не лежащая между ними точка \(P\). Две прямые, проходящие через точку \(P\), пересекают плоскость \(\alpha\) в точках \(A_1\) и \(A_2\), а плоскость \(\beta\) — в точках \(B_1\) и \(B_2\). Найдите \(B_1B_2\), если \(A_1A_2=6\) см и \(A_1P:A_1B_1=3:2\).
- Какую длину должна иметь лестница, чтобы её можно было положить на две вертикальные стены высотой 4 м и 5 м, находящиеся на расстоянии 3 м одна от другой.
- Из вершины \(B\) прямоугольника \(ABCD\) со сторонами \(BC=3\) см и \(AB=6\) см к его плоскости проведён перпендикуляр \(BM=3\sqrt{3}\) см. Найдите площадь треугольника \(DCM\).
Кратко:
- №1 — \(10\) см (при обычном порядке \(P-A_1-B_1\); если \(B_1\) ближе к \(P\), получится \(2\) см);
- №2 — \(\sqrt{10}\) м, если лестница-перекладина лежит на верхних кромках обеих стен; если она ещё должна стоять на земле, то \(5\sqrt{10}\) м;
- №3 — \(18\) см².
1. Параллельные плоскости
Плоскость, проходящая через две прямые \(PA_1\) и \(PA_2\), пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, поэтому \[ A_1A_2\parallel B_1B_2. \] Значит, \[ \triangle PA_1A_2\sim \triangle PB_1B_2. \] Отсюда \[ \frac{B_1B_2}{A_1A_2}=\frac{PB_1}{PA_1}. \]
Дано: \[ A_1P:A_1B_1=3:2. \] При расположении \(P-A_1-B_1\): \[ PA_1=3x,\qquad A_1B_1=2x, \] поэтому \[ PB_1=3x+2x=5x. \] Тогда \[ B_1B_2=6\cdot \frac{5x}{3x}=10\text{ см}. \]
2. Лестница и две стены
Нужна наименьшая длина, поэтому лестница должна быть перпендикулярна обеим верхним кромкам стен. В вертикальном сечении получаем прямоугольный треугольник:
- горизонтальное расстояние между стенами: \(3\) м;
- разность высот стен: \(5-4=1\) м.
По теореме Пифагора: \[ L=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\text{ м}. \]
Значит, минимальная длина такой перекладины: \[ \sqrt{10}\text{ м}. \]
Если по смыслу задачи лестница должна нижним концом стоять на земле, то её длина считается иначе: горизонталь до дальней стены \(12+3=15\) м, высота \(5\) м, значит \[ L=\sqrt{15^2+5^2}=5\sqrt{10}\text{ м}. \]
3. Площадь треугольника \(DCM\)
В прямоугольнике: \[ CD=AB=6\text{ см}. \]
Так как \(BM\perp (ABCD)\), то \(BM\perp BC\). Поэтому треугольник \(BMC\) прямоугольный: \[ CM^2=BC^2+BM^2=3^2+(3\sqrt3)^2=9+27=36, \] \[ CM=6\text{ см}. \]
Кроме того, \(CD\perp BC\) и \(CD\perp BM\), значит, \(CD\) перпендикулярна плоскости \(BMC\), поэтому \[ CD\perp CM. \]
Тогда треугольник \(DCM\) прямоугольный с катетами \(CD=6\) и \(CM=6\): \[ S_{DCM}=\frac12\cdot CD\cdot CM=\frac12\cdot 6\cdot 6=18\text{ см}^2. \]
Ответ: \[ \boxed{18\text{ см}^2}. \]
