План конспекта: 1.) Определение логарифма. 2.)Свойства логарифма. 3.)Виды логарифмов. 4.) Как искать ОДЗ.
Краткий ответ
Логарифм — это показатель степени: \(\log_a b\) показывает, в какую степень нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\). Конспект по твоему плану:
- определение и основное логарифмическое тождество;
- свойства логарифмов и условия их применения;
- виды логарифмов;
- ОДЗ — система ограничений на аргумент и основание.
1. Определение логарифма
\[ \log_a b=c \iff a^c=b, \] где \[ a>0,\qquad a\ne1,\qquad b>0. \]
- \(a\) — основание логарифма;
- \(b\) — аргумент, или подлогарифмическое выражение;
- \(c\) — значение логарифма.
Пример: \[ \log_2 8=3, \] потому что \(2^3=8\).
Основное логарифмическое тождество: \[ a^{\log_a b}=b. \]
2. Свойства логарифмов
При допустимых значениях \(a\), \(b\), \(x\), \(y\):
\[ \log_a 1=0,\qquad \log_a a=1; \]
\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y; \]
\[ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y; \]
\[ \log_a x^p=p\log_a x; \]
\[ \log_{a^k}x=\frac{1}{k}\log_a x; \]
\[ \log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a}; \]
\[ \log_a b=\frac{1}{\log_b a}. \]
Важно: все аргументы логарифмов должны быть положительными, а основания — положительными и не равными \(1\).
Полезно помнить: при \(a>1\) функция \(y=\log_a x\) возрастает, а при \(0<a<1\) — убывает.
Типичная ошибка: \[ \log_a(x+y)\ne \log_a x+\log_a y. \] Свойство суммы работает только для произведения аргументов.
3. Виды логарифмов
- Десятичный: \(\lg x=\log_{10}x\).
- Натуральный: \(\ln x=\log_e x\), где \(e\approx2{,}718\).
- Двоичный: \(\log_2 x\).
- Логарифм с произвольным основанием: \(\log_a x\), где \(a>0\), \(a\ne1\).
Отдельно встречаются логарифмы, у которых основание зависит от переменной, например \(\log_{x-1}5\). Для них особенно важно правильно находить ОДЗ.
4. Как искать ОДЗ
Для логарифма \[ \log_{a(x)} b(x) \] нужно выполнить три условия:
\[ b(x)>0, \] \[ a(x)>0, \] \[ a(x)\ne1. \]
Алгоритм:
- Выписать ограничения для каждого логарифма.
- Добавить ограничения от дробей, корней чётной степени и других выражений, если они есть.
- Решить получившуюся систему.
- Пересечь решения и проверить найденные корни.
Пример. Найти ОДЗ выражения \[ \log_{x-1}(5-x). \]
Составляем систему: \[ \begin{cases} x-1>0,\\ x-1\ne1,\\ 5-x>0. \end{cases} \]
Получаем: \[ \begin{cases} x>1,\\ x\ne2,\\ x<5. \end{cases} \]
Значит, \[ x\in(1;2)\cup(2;5). \]
Проверка: \(x=3\) подходит; \(x=2\) не подходит, так как основание равно \(1\); \(x=5\) не подходит, так как аргумент равен \(0\).
Главный принцип: сначала находим ОДЗ, потом выполняем преобразования. Свойства логарифмов помогают сворачивать выражения, но не отменяют ограничений на аргументы и основания.
