Реши все

Question

Реши все

Расшифровка фото нейросетью:
2 вариант

1. Найдите координаты вершины параболы.
а) $y = x^{2} - x - 20$ б) $y = 3x^{2} - 5x + 2$ в) $y = -0,5x^{2} - 3x + 3,5$ г) $y = -x^{2} + 4x$.

2. Постройте график квадратичной функции
а) $y = x^{2} + 2x - 15$ б) $y = -2x^{2} + 8x - 6$

Answer

Кратко

Задание 1 — координаты вершин парабол $x_0 = -\dfrac{b}{2a},\ y_0 = y(x_0)$:

пункт |
функция |
вершина |

а |
$y=x^{2}-x-20$ |
$(0{,}5;\ -20{,}25)$ |

б |
$y=3x^{2}-5x+2$ |
$\left(\dfrac{5}{6};\ -\dfrac{1}{12}\right)$ |

в |
$y=-0{,}5x^{2}-3x+3{,}5$ |
$(-3;\ 8)$ |

г |
$y=-x^{2}+4x$ |
$(2;\ 4)$ |

Задание 2 — графики:

а) $y=x^{2}+2x-15$: ветви вверх, вершина $(-1;-16)$, нули $x=-5$ и $x=3$, пересечение с осью $Oy$ — $(0;-15)$, ось симметрии $x=-1$.

б) $y=-2x^{2}+8x-6$: ветви вниз, вершина $(2;2)$, нули $x=1$ и $x=3$, пересечение с $Oy$ — $(0;-6)$, ось симметрии $x=2$.

Откуда берутся вершины

Для любой параболы $y=ax^{2}+bx+c$ ($a\neq 0$) вершина лежит на оси симметрии, поэтому её абсцисса — среднее арифметическое корней, то есть $x_0=-\dfrac{b}{2a}$. Ординату находим подстановкой $x_0$ в формулу.

а) $a=1,\ b=-1$: $x_0=\dfrac{1}{2}$; $y_0=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}-20=-20{,}25$.

б) $a=3,\ b=-5$: $x_0=\dfrac{5}{6}$; $y_0=3\cdot\dfrac{25}{36}-5\cdot\dfrac{5}{6}+2=\dfrac{25}{12}-\dfrac{50}{12}+\dfrac{24}{12}=-\dfrac{1}{12}$.

в) $a=-0{,}5,\ b=-3$: $x_0=\dfrac{3}{2\cdot(-0{,}5)}=-3$; $y_0=-0{,}5\cdot 9+9+3{,}5=8$.

г) $a=-1,\ b=4$: $x_0=\dfrac{-4}{-2}=2$; $y_0=-4+8=4$.

Как строить график (задание 2)

План для любой квадратичной функции:

1. знак $a$ — куда направлены ветви;

2. вершина по формуле;

3. нули: решить $ax^{2}+bx+c=0$ через дискриминант;

4. точка пересечения с осью $Oy$ — это $(0;c)$;

5. 2–3 дополнительные точки, симметричные относительно оси;

6. плавная кривая через все точки.

Удобная проверка — выделение квадрата: $y=a(x-x_0)^{2}+y_0$.

а) $y=x^{2}+2x-15=(x+1)^{2}-16$. $D=4+60=64$, корни $x=\dfrac{-2\pm 8}{2}$, то есть $-5$ и $3$. Точки для построения:

$x$ |
$-5$ |
$-4$ |
$-3$ |
$-2$ |
$-1$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |

$y$ |
$0$ |
$-7$ |
$-12$ |
$-15$ |
$-16$ |
$-15$ |
$-12$ |
$-7$ |
$0$ |

б) $y=-2x^{2}+8x-6=-2(x-2)^{2}+2$. $D=64-48=16$, корни $x=\dfrac{-8\pm 4}{-4}$, то есть $1$ и $3$. Точки:

$x$ |
$-1$ |
$0$ |
$1$ |
$2$ |
$3$ |
$4$ |
$5$ |

$y$ |
$-16$ |
$-6$ |
$0$ |
$2$ |
$0$ |
$-6$ |
$-16$ |

Проверка

Ординату вершины можно посчитать независимо: $y_0=\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}$.

1а: $\dfrac{4\cdot1\cdot(-20)-1}{4}=\dfrac{-81}{4}=-20{,}25$ ✔

1б: $\dfrac{4\cdot3\cdot2-25}{4\cdot3}=\dfrac{-1}{12}$ ✔

1в: $\dfrac{4\cdot(-0{,}5)\cdot3{,}5-9}{-2}=\dfrac{-16}{-2}=8$ ✔

1г: $\dfrac{0-16}{-4}=4$ ✔

2а: $\dfrac{4\cdot(-15)-4}{4}=-16$ ✔

2б: $\dfrac{48-64}{-8}=2$ ✔

Во всех шести случаях значения совпали — значит, вершины и опорные точки найдены верно.

пункт	функция	вершина
а	\(y=x^{2}-x-20\)	\((0{,}5;\ -20{,}25)\)
б	\(y=3x^{2}-5x+2\)	\(\left(\dfrac{5}{6};\ -\dfrac{1}{12}\right)\)
в	\(y=-0{,}5x^{2}-3x+3{,}5\)	\((-3;\ 8)\)
г	\(y=-x^{2}+4x\)	\((2;\ 4)\)