1. На заводе производится взвешивание свежеиспечённых буханок хлеба в контрольной партии. Событие А состоит в том, что масса буханки не превышает 820 г. Событие В состоит в том,…
1. На заводе производится взвешивание свежеиспечённых буханок хлеба в контрольной партии. Событие А состоит в том, что масса буханки не превышает 820 г. Событие В состоит в том, что масса буханки не менее 750 г. Изобразите событие на числовой прямой. В чем состоит это событие А∩В? 2. Событию A благоприятствуют 5 элементарных событий, а событию B — 8 элементарных событий. Из этих 8 элементарных событий 2 благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте в тетради соответствующую диаграмму Эйлера и ответьте на вопросы. Сколько элементарных событий благоприятствует: а) событию A, но не событию B; б) событию B, но не событию A; в) событию ; г) событию , если известно, что в эксперименте всего 12 элементарных событий? 3. В некотором случайном опыте событию A благоприятствуют 6 элементарных событий, событию B — 8 элементарных событий. 10 элементарных событий благоприятствуют событию . Сколько элементарных событий благоприятствует событию: а) «событие A наступает, а B — нет»; б) «событие B наступает, а A — нет». в) сколько элементарных событий благоприятствует событию . г) Найдите вероятность события , если известно, что в результате эксперимента обязательно наступает либо А, либо В. 4. Бросают одну игральную кость. Событие А - «выпадет чётное число очков». Событие В заключается в том, что: a) выпадет число очков, кратное 3; б) выпадет число очков, кратное 4; в) выпадет число очков, большее 4; г) выпадет число очков, меньшее 3. Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию A U B. Найдите P (A U B). Выпишите все элементарные события, благоприятствующие событию A ∩ B. Найдите P (A ∩ B). 5. Игральную кость бросают дважды. Событие А - «в первый раз выпадет меньше 3 очков». Событие В - «во второй раз выпадет больше 4 очков». В таблице этого опыта укажите элементарные события, благоприятствующие событию A U В. Найдите P(A U B). Найдите P(A ∩ B).
Сначала кратко, затем — как это получается.
Краткие ответы
\(A\cap B\): масса буханки от 750 г до 820 г включительно, то есть
\[ 750\le m\le 820. \] На числовой прямой это отрезок \([750;820]\).
При этом \(A\cup B\) покрывает всю числовую прямую: любая масса либо не больше 820, либо не меньше 750.Считаю, что в пунктах в) и г) имелись в виду \(A\cup B\) и \(\overline{A\cup B}\): \[ N(A\text{ без }B)=5-2=3, \] \[ N(B\text{ без }A)=8-2=6, \] \[ N(A\cup B)=3+2+6=11, \] \[ N(\overline{A\cup B})=12-11=1. \] На диаграмме Эйлера: в пересечении кругов 2 события, только в \(A\) — 3, только в \(B\) — 6, вне кругов — 1.
Здесь \(N(A)=6\), \(N(B)=8\), \(N(A\cup B)=10\). Тогда \[ N(A\cap B)=N(A)+N(B)-N(A\cup B)=6+8-10=4. \] Значит:
- \(A\) наступает, а \(B\) нет: \(6-4=2\);
- \(B\) наступает, а \(A\) нет: \(8-4=4\);
- \(N(A\cap B)=4\);
- если обязательно происходит \(A\) или \(B\), то всего рассматриваемых исходов 10, поэтому \[ P(A\cap B)=\frac{4}{10}=\frac25=0{,}4. \]
- Для игральной кости \(A=\{2;4;6\}\).
| \(B\) | \(A\cup B\) | \(P(A\cup B)\) | \(A\cap B\) | \(P(A\cap B)\) |
|---|---|---|---|---|
| \(\{3;6\}\) | \(\{2;3;4;6\}\) | \(\frac{4}{6}=\frac23\) | \(\{6\}\) | \(\frac16\) |
| \(\{4\}\) | \(\{2;4;6\}\) | \(\frac{3}{6}=\frac12\) | \(\{4\}\) | \(\frac16\) |
| \(\{5;6\}\) | \(\{2;4;5;6\}\) | \(\frac{4}{6}=\frac23\) | \(\{6\}\) | \(\frac16\) |
| \(\{1;2\}\) | \(\{1;2;4;6\}\) | \(\frac{4}{6}=\frac23\) | \(\{2\}\) | \(\frac16\) |
- Для двух бросков: \[ N(A)=12,\qquad N(B)=12,\qquad N(A\cap B)=4. \] Поэтому \[ N(A\cup B)=12+12-4=20, \] \[ P(A\cup B)=\frac{20}{36}=\frac59. \] \[ P(A\cap B)=\frac{4}{36}=\frac19. \]
Таблица: строки — первый бросок, столбцы — второй.
Знак \(\cup\) показывает исходы \(A\cup B\), знак \(\cap\) — исходы \(A\cap B\) (они входят и в объединение).
| 1-й \ 2-й | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\cup\) | \(\cup\) | \(\cup\) | \(\cup\) | \(\cap\) | \(\cap\) |
| 2 | \(\cup\) | \(\cup\) | \(\cup\) | \(\cup\) | \(\cap\) | \(\cap\) |
| 3 | — | — | — | — | \(\cup\) | \(\cup\) |
| 4 | — | — | — | — | \(\cup\) | \(\cup\) |
| 5 | — | — | — | — | \(\cup\) | \(\cup\) |
| 6 | — | — | — | — | \(\cup\) | \(\cup\) |
Почему так
- Событие — это множество элементарных исходов. Если все исходы равновозможны, то \[ P(E)=\frac{N(E)}{N(\Omega)}. \]
- Для двух событий: \[ N(A\cup B)=N(A)+N(B)-N(A\cap B). \] Пересечение вычитается потому, что исходы, входящие сразу в \(A\) и \(B\), при сложении \(N(A)+N(B)\) посчитаны дважды.
В задании 2 пересечение равно 2, поэтому:
- «только \(A\)»: \(5-2=3\);
- «только \(B\)»: \(8-2=6\);
- объединение: \(3+2+6=11\);
- вне объединения: \(12-11=1\).
В задании 3 объединение содержит 10 исходов. Складываем 6 и 8, получаем 14, но пересечение посчитано дважды, поэтому \[ 14-10=4. \] Значит, в пересечении 4 исхода.
Проверка задания 3:
\(A\) без \(B\): 2, пересечение: 4, всего в \(A\): \(2+4=6\).
\(B\) без \(A\): 4, пересечение: 4, всего в \(B\): \(4+4=8\).
Объединение: \(2+4+4=10\). Всё сходится.
Небольшое уточнение: если в пунктах 2 в) и г) у тебя стояли не \(A\cup B\) и \(\overline{A\cup B}\), а \(\overline A\) и \(\overline B\), то получится: \[ N(\overline A)=12-5=7,\qquad N(\overline B)=12-8=4. \]
