Реши задание на изображении
Краткий ответ
\[ x^{2}+4x-21=(x-3)(x+7) \]
Как это получить
Способ 1. Через корни (дискриминант).
Квадратный трёхчлен раскладывается по формуле:
\[ ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}), \]
где \(x_{1}\) и \(x_{2}\) — корни уравнения \(ax^{2}+bx+c=0\).
Решаю \(x^{2}+4x-21=0\):
\[ D=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot 1\cdot(-21)=16+84=100,\qquad \sqrt{D}=10 \]
\[ x_{1}=\frac{-4+10}{2}=3,\qquad x_{2}=\frac{-4-10}{2}=-7 \]
Значит,
\[ x^{2}+4x-21=1\cdot(x-3)\bigl(x-(-7)\bigr)=(x-3)(x+7). \]
Способ 2. Подбор по теореме Виета (обычно быстрее).
Нужны два числа, у которых произведение равно \(-21\), а сумма равна \(-4\):
- \(7\cdot(-3)=-21\);
- \(7+(-3)=4\), а сумма корней должна быть \(-4\): берём \(-8\) нет — проверяю точнее: \((-3)+7=4\), но коэффициент \(b=4\), значит сумма корней равна \(-b=-4\). Подходят числа \(-7\) и \(3\): \((-7)+3=-4\), \((-7)\cdot 3=-21\).
Отсюда сразу \((x-3)(x+7)\).
Проверка
\[ (x-3)(x+7)=x^{2}+7x-3x-21=x^{2}+4x-21 \]
Совпало с исходным выражением — ответ верный.
Как действовать в похожем задании: найди корни (дискриминантом или Виетом), затем запиши произведение \((x-x_{1})(x-x_{2})\); если перед \(x^{2}\) стоит число \(a\ne 1\), не забудь этот множитель впереди.
Обсуждение
5 сообщенийНа фото то же задание, что мы уже начали разбирать: пункт а) на листке уже решён — \((x+7)(x-3)\), это совпадает с моим ответом. Ниже виден пункт б). Решаю его.
Краткий ответ
\[ 2x^{2}-3x-9=(x-3)(2x+3) \]
Ключевые шаги
Решаю уравнение \(2x^{2}-3x-9=0\):
\[ D=b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4\cdot 2\cdot(-9)=9+72=81,\qquad \sqrt{D}=9 \]
\[ x_{1}=\frac{3+9}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3,\qquad x_{2}=\frac{3-9}{4}=\frac{-6}{4}=-\frac{3}{2} \]
Раскладываю по формуле \(ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})\), где \(a=2\):
\[ 2x^{2}-3x-9=2\left(x-3\right)\left(x+\frac{3}{2}\right) \]
Двойку удобно внести во вторую скобку:
\[ 2\left(x+\frac{3}{2}\right)=2x+3 \]
Отсюда
\[ 2x^{2}-3x-9=(x-3)(2x+3). \]
Проверка
\[ (x-3)(2x+3)=2x^{2}+3x-6x-9=2x^{2}-3x-9 \]
Совпало — ответ верный.
Важный момент: когда перед \(x^{2}\) стоит число \(a\ne 1\) (здесь \(a=2\)), множитель \(a\) нельзя терять. Его либо оставляют перед скобками, либо «загоняют» в одну из скобок, как я сделал выше.
Если на листке есть ещё пункты (в, г), пришли их — разберу так же.
На фото — не новое задание, а проверка того же трёхчлена \(2x^{2}-3x-9\): подстановкой проверяют, какие числа являются корнями. Так что продолжаю с этого места.
Что видно на записи
Проверка идёт верно:
- \(x=3\): \(2\cdot 3^{2}-3\cdot 3-9=18-9-9=0\) — значит, 3 является корнем;
- \(x=-3\): \(2\cdot(-3)^{2}-3\cdot(-3)-9=18+9-9=18\ne 0\) — значит, \(-3\) корнем не является. Здесь важно, что \((-3)^{2}=9\), а \(-3\cdot(-3)=+9\), поэтому получается \(18+9-9=18\), а не ноль.
Чего не хватает в проверке
Второй корень мы нашли как \(x=-\frac{3}{2}\), и его тоже стоит проверить подстановкой:
\[ 2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}-3\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)-9 =2\cdot\frac{9}{4}+\frac{9}{2}-9 =\frac{9}{2}+\frac{9}{2}-9=9-9=0 \]
Корень подтвердился.
Итог
Оба корня \(x=3\) и \(x=-\frac{3}{2}\) проверены подстановкой, значит разложение
\[ 2x^{2}-3x-9=(x-3)(2x+3) \]
верно.
Смысл такой проверки: подставлять найденные числа в исходное выражение — самый надёжный способ поймать ошибку в дискриминанте или в знаках, ведь в разложении знак легко потерять. Если нужно, разберём, как быстро проверять корни устно, без длинных вычислений.
