8. Найди значение выражения √4³.

Ответ

\[ \sqrt{4^3} = 8 \]

Как это получить

Способ 1 — по шагам (самый надёжный):

1. Сначала возводим в куб: \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\).
2. Потом извлекаем квадратный корень: \(\sqrt{64} = 8\), ведь \(8^2 = 64\).

Способ 2 — через свойства степеней:

\[ \sqrt{4^3} = \left(4^3\right)^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = \left(4^{\frac{1}{2}}\right)^3 = 2^3 = 8 \]

Здесь работает правило: корень — это степень \(\frac{1}{2}\), а при возведении степени в степень показатели перемножаются: \(3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Отдельно полезно помнить, что \(4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2\).

Проверка

Обратное действие: \(8^2 = 64\), и при этом \(4^3 = 64\). Обе стороны совпали, значит, ответ 8 верный.

Принцип на будущее: выражение вида \(\sqrt{a^n}\) удобно считать так — сначала найти \(a^n\), а потом корень. Либо переписать как \(a^{n/2}\), если корень из \(a\) извлекается нацело.