2) y = cos x; y = 0; x = -π/2; x = π/4

По записи \(S\) это задачи на площадь фигуры между графиком, осью \(y=0\) и вертикальными прямыми. Если считать площади, то:

\[ S_1=1+\frac{\sqrt2}{2},\qquad S_2=\frac{19}{3},\qquad S_3=\frac{4-\sqrt2-\sqrt3}{2}. \]

Для третьего примера: если требовалось найти только определённый интеграл, то он равен \(\frac{\sqrt2-\sqrt3}{2}\).

Общий принцип

\[ S=\int_a^b |f(x)|\,dx. \]

Если на отрезке график не переходит через ось \(Ox\), модуль можно не писать. Если переходит, интеграл нужно разбить в точке нуля. Иначе получится алгебраическая сумма площадей со знаком, а не настоящая площадь.

1) \(y=\cos x,\ y=0,\ x=-\frac{\pi}{2},\ x=\frac{\pi}{4}\)

На этом отрезке \(\cos x\ge 0\), поэтому

\[ S=\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\cos x\,dx =\left.\sin x\right|_{-\pi/2}^{\pi/4} =\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\sqrt2}{2}+1. \]

Этот ответ на фото верный.

2) \(y=x^2,\ y=0,\ x=-3,\ x=-2\)

Так как \(x^2\ge 0\),

\[ S=\int_{-3}^{-2}x^2\,dx =\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^{-2} =\frac{(-2)^3}{3}-\frac{(-3)^3}{3} =-\frac83+\frac{27}{3} =\frac{19}{3}. \]

Этот ответ тоже верный.

3) \(y=\sin x,\ y=0,\ x=-\frac{\pi}{4},\ x=\frac{\pi}{6}\)

Здесь \(\sin x\) меняет знак в точке \(x=0\): слева график ниже оси, справа выше. Поэтому для площади нельзя просто взять один интеграл.

Сначала интеграл:

\[ \int_{-\pi/4}^{\pi/6}\sin x\,dx =\left.-\cos x\right|_{-\pi/4}^{\pi/6} =-\cos\frac{\pi}{6}+\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) =-\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2-\sqrt3}{2}<0. \]

Отрицательное значение означает, что площади под осью больше. Настоящая площадь:

\[ S_1=\int_{-\pi/4}^{0}(-\sin x)\,dx =1-\frac{\sqrt2}{2}, \]

\[ S_2=\int_0^{\pi/6}\sin x\,dx =1-\frac{\sqrt3}{2}. \]

\[ S=S_1+S_2 =2-\frac{\sqrt2+\sqrt3}{2} =\frac{4-\sqrt2-\sqrt3}{2} \approx 0{,}427. \]

Поэтому значение \(\frac{\sqrt3-\sqrt2}{2}\approx0{,}159\), если оно записано в конце, не является всей площадью: это только разность двух частей, а не их сумма.