номер 182

Question

номер 182

Расшифровка фото нейросетью:
182. Докажите, что значение данного выражения — число рациональное:
а) $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)$;
б) $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$;
в) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})$;
г) $(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})$;
д) $(\sqrt{2}+1)^{2}+(\sqrt{2}-1)^{2}$;
е) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$;
ж) $(\sqrt{7}-1)^{2}+(\sqrt{7}+1)^{2}$;
з) $(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}$;
и) $(\sqrt{7}-2)^{2}+4\sqrt{7}$;
к) $(\sqrt{8}+3)^{2}-6\sqrt{8}$.

Answer

Краткий ответ:
а) $1$; б) $2$; в) $2$; г) $1$; д) $6$; е) $10$; ж) $16$; з) $16$; и) $11$; к) $17$.

Все получились целыми числами, а значит, они рациональные.

Как рассуждать

Здесь работают два основных приёма.

1. Разность квадратов:

$$
(A-B)(A+B)=A^2-B^2
$$

и то, что

$$
(\sqrt{n})^2=n.
$$

Поэтому:

$$
(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)=2-1=1,
$$

$$
(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2,
$$

$$
(\sqrt5-\sqrt3)(\sqrt5+\sqrt3)=5-3=2,
$$

$$
(\sqrt6+\sqrt5)(\sqrt6-\sqrt5)=6-5=1.
$$

Это пункты а), б), в), г).

2. Сумма квадратов с плюсом и минусом

Полезная формула:

$$
(A+B)^2+(A-B)^2=2A^2+2B^2.
$$

Средние члены $2AB$ и $-2AB$ взаимно уничтожаются.

Например:

$$
(\sqrt2+1)^2+(\sqrt2-1)^2=2(2+1)=6.
$$

Аналогично:

$$
(\sqrt3+\sqrt2)^2+(\sqrt3-\sqrt2)^2=2(3+2)=10,
$$

$$
(\sqrt7-1)^2+(\sqrt7+1)^2=2(7+1)=16,
$$

$$
(\sqrt5-\sqrt3)^2+(\sqrt5+\sqrt3)^2=2(5+3)=16.
$$

Это пункты д), е), ж), з).

3. Последние два пункта

В них корни тоже сокращаются:

$$
(\sqrt7-2)^2+4\sqrt7=
(7-4\sqrt7+4)+4\sqrt7=11,
$$

$$
(\sqrt8+3)^2-6\sqrt8=
(8+6\sqrt8+9)-6\sqrt8=17.
$$

Проверка: во всех ответах не осталось квадратных корней, поэтому каждое значение — целое число, а значит, рациональное.