Вариант 1. 1. Вычислите: а) 5²; б) 2⁴; в) 3³ + 10².

Краткие ответы

1. а) \(25\); б) \(16\); в) \(127\).
2. а) \(126, 513\); б) \(340, 890\).
3. \(19, 23\).
4. \(54=2\cdot3^3\).
5. Цифра \(8\); получится \(4887\).
6. Например, \(90\) и \(60\) (подходит также \(30\) и \(120\)).
7. \(21\) корзину; в каждой — \(4\) кг апельсинов и \(5\) кг яблок.

Разбор

1. Степень — это повторное умножение: \[ 5^2=5\cdot5=25,\qquad 2^4=2\cdot2\cdot2\cdot2=16, \] \[ 3^3+10^2=27+100=127. \]

2. а) Число делится на \(9\), если сумма его цифр делится на \(9\): \[ 1+2+6=9,\qquad 5+1+3=9. \] Поэтому подходят \(126\) и \(513\).

   б) Чтобы число делилось одновременно на \(2\) и на \(5\), оно должно оканчиваться на \(0\). Это \(340\) и \(890\).

3. Простое число имеет ровно два делителя: \(1\) и само себя. Из ряда подходят только \(19\) и \(23\). Число \(1\) простым не является; \(39=3\cdot13\), \(51=3\cdot17\).

4. Раскладываем: \[ 54=2\cdot27=2\cdot3\cdot3\cdot3=2\cdot3^3. \]

5. Пусть неизвестная цифра — \(x\). Сумма цифр числа \(4x87\): \[ 4+x+8+7=19+x. \] Она должна делиться на \(9\). Подходит только \(x=8\), тогда сумма равна \(27\). Проверка: \[ 4887:9=543. \]

6. Пусть первое число равно \(15a\), второе — \(20b\). Тогда \[ 15a+20b=150 \quad\Rightarrow\quad 3a+4b=30. \] Например, \(b=3\), тогда \(a=6\). Значит, первое число \(15\cdot6=90\), второе \(20\cdot3=60\). Проверка: \(90+60=150\).

7. Число корзин должно делить и \(84\), и \(105\), поэтому наибольшее число корзин — это НОД: \[ 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 105=3\cdot5\cdot7, \] \[ \text{НОД}(84,105)=3\cdot7=21. \] В каждой корзине: \[ 84:21=4\text{ кг апельсинов},\qquad 105:21=5\text{ кг яблок}. \] Проверка: \(21\cdot4=84\), \(21\cdot5=105\).