Задача 167

Ответы к заданию 167:

1. \(x \in (11; +\infty)\)
2. \(x \in [2; 3)\)
3. \(x \in (-22; 3]\)
4. \(x \in (-\infty; -5)\)
5. \(x \in \left(\frac{19}{2}; +\infty\right)\)
6. \(x \in \left[-\frac{5}{9}; +\infty\right)\)
7. \(x \in \left[\frac{5}{3}; 10\right)\)
8. \(x \in \left[-\frac{5}{4}; -\frac{19}{16}\right]\)

Главное правило. Во всех пунктах слева корень, справа положительное число \(a\). Тогда: \[ \sqrt{f(x)} < a \Leftrightarrow 0 \le f(x) < a^2, \qquad \sqrt{f(x)} > a \Leftrightarrow f(x) > a^2. \] Для знаков \(\le\) и \(\ge\) — то же самое, только неравенства нестрогие.

Почему так:

• под корнем должно быть \(f(x) \ge 0\);
• при \(f(x) \ge 0\) обе части неравенства неотрицательны, поэтому возведение в квадрат не меняет знак;
• для \(\sqrt{f} > a\) условие \(f > a^2\) само обеспечивает \(f > 0\), поэтому отдельно ОДЗ искать не нужно;
• для \(\sqrt{f} < a\) так нельзя: при отрицательном \(f\) корень не существует, поэтому к \(f < a^2\) добавляем условие \(f \ge 0\).

Решение по пунктам.

1. \(\sqrt{x-2} > 3 \Leftrightarrow x-2 > 9 \Leftrightarrow x > 11\).

2. \(\sqrt{x-2} < 1 \Leftrightarrow 0 \le x-2 < 1 \Leftrightarrow 2 \le x < 3\).

3. \(\sqrt{3-x} < 5 \Leftrightarrow 0 \le 3-x < 25\). Из \(3-x \ge 0\) получаем \(x \le 3\); из \(3-x < 25\) получаем \(x > -22\). Итог: \(-22 < x \le 3\).

4. \(\sqrt{4-x} > 3 \Leftrightarrow 4-x > 9 \Leftrightarrow x < -5\).

5. \(\sqrt{2x-3} > 4 \Leftrightarrow 2x-3 > 16 \Leftrightarrow x > \frac{19}{2}\).

6. \(\sqrt{x+1} \ge \frac{2}{3} \Leftrightarrow x+1 \ge \frac{4}{9} \Leftrightarrow x \ge -\frac{5}{9}\).

7. \(\sqrt{3x-5} < 5 \Leftrightarrow 0 \le 3x-5 < 25 \Leftrightarrow 5 \le 3x < 30 \Leftrightarrow \frac{5}{3} \le x < 10\).

8. \(\sqrt{4x+5} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le 4x+5 \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow -5 \le 4x \le -\frac{19}{4} \Leftrightarrow -\frac{5}{4} \le x \le -\frac{19}{16}\).

Проверка. В 1) при \(x = 11\): \(\sqrt{9} = 3\), а нужно строго больше — значит, 11 не входит; при \(x = 12\): \(\sqrt{10} > 3\) — подходит. В 8) при \(x = -1{,}2\): \(\sqrt{0{,}2} \approx 0{,}45 \le 0{,}5\) — подходит; при \(x = -1{,}1\): \(\sqrt{0{,}6} \approx 0{,}77 > 0{,}5\) — уже нет.

Частая ошибка. В пунктах 2), 3), 7), 8) возводят в квадрат и забывают про \(f(x) \ge 0\). Например, в 2) из \(x-2 < 1\) получают \(x < 3\), но при \(x = 0\) выражение \(\sqrt{-2}\) не определено.