Контрольная работа «Уравнения с одной переменной» Вариант 1

На фото — контрольная работа, вариант 1. Решаю все задания.

Кратко

1. а) \(36\); б) \(1{,}7\); в) \(3{,}5\); г) \(-10\).
2. \(10\) минут.
3. \(60\) т.
4. \(x\) — любое действительное число, то есть \(x\in\mathbb R\).

1. Уравнения

а)
\[ \frac{1}{3}x=12 \] Умножаем обе части на \(3\): \[ x=12\cdot 3=36 \]

б)
\[ 6x-10{,}2=0 \] \[ 6x=10{,}2 \] \[ x=\frac{10{,}2}{6}=1{,}7 \]

в)
\[ 5x-4{,}5=3x+2{,}5 \] Переносим слагаемые с \(x\) влево, числа — вправо: \[ 5x-3x=2{,}5+4{,}5 \] \[ 2x=7 \] \[ x=3{,}5 \]

Проверка: слева \(5\cdot3{,}5-4{,}5=13\), справа \(3\cdot3{,}5+2{,}5=13\).

г)
\[ 2x-(6x-5)=45 \] Раскрываем скобки: \[ 2x-6x+5=45 \] \[ -4x=40 \] \[ x=-10 \]

Проверка: \(2(-10)-(6(-10)-5)=-20-(-65)=45\).

2. Задача про Таню

Пусть Таня едет на автобусе \(x\) минут.
Пешком она идёт на \(6\) минут дольше, то есть \(x+6\) минут.

Вся дорога занимает \(26\) минут: \[ x+(x+6)=26 \] \[ 2x+6=26 \] \[ 2x=20 \] \[ x=10 \]

Ответ: 10 минут.

Проверка: автобус — \(10\) мин, пешком — \(16\) мин, всего \(26\) мин, и пешком действительно на \(6\) мин дольше.

3. Задача про сено

Пусть во втором сарае было \(x\) тонн сена.
Тогда в первом было \(3x\) тонн.

После перевозки:

• в первом осталось \(3x-20\) т;
• во втором стало \(x+10\) т.

По условию сена стало поровну: \[ 3x-20=x+10 \] \[ 3x-x=10+20 \] \[ 2x=30 \] \[ x=15 \]

Значит, во втором сарае было \(15\) т, а в первом: \[ 3\cdot15=45\text{ т} \]

Всего первоначально: \[ 45+15=60\text{ т} \]

Ответ: 60 тонн.

Проверка: \(45-20=25\) и \(15+10=25\).

4. Уравнение

\[ 7x-(x+3)=3(2x-1) \]

Раскрываем скобки: \[ 7x-x-3=6x-3 \] \[ 6x-3=6x-3 \]

Правая и левая части полностью совпали. Это значит, что равенство верно при любом значении \(x\).

Ответ: \(x\) — любое действительное число; корней бесконечно много.