2 вариантов решить

Question

2 вариантов решить

Расшифровка фото нейросетью:
«Простейшие задачи в координатах»
Вариант 1.
Дано: $A(2;-4)$, $B(-2;-6)$, $C(0;7)$.
Найти: а) координаты вектора $BC$;
б) длину вектора $AB$;
в) координаты середины отрезка $AC$;
г) периметр треугольника $ABC$;
д) длину медианы $BM$.

Самостоятельная работа по теме
«Простейшие задачи в координатах»
Вариант 2.
Дано: $A(4;-5)$, $B(-8;-6)$, $C(5;9)$.
Найти: а) координаты вектора $AC$;
б) длину вектора $BC$;
в) координаты середины отрезка $AB$;
г) периметр треугольника $ABC$;
д) длину медианы $CM$.

Answer

Краткий ответ

Вариант 1:
а) $\overrightarrow{BC}=(2;13)$;
б) $|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt5$;
в) $M_{AC}(1;1{,}5)$;
г) $P=7\sqrt5+\sqrt{173}$;
д) $BM=\dfrac{3\sqrt{29}}{2}$.

Вариант 2:
а) $\overrightarrow{AC}=(1;14)$;
б) $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{394}$;
в) $M_{AB}(-2;-5{,}5)$;
г) $P=\sqrt{145}+\sqrt{394}+\sqrt{197}$;
д) $CM=\dfrac{\sqrt{1037}}{2}$.

Как решать похожие задания

1. Вектор $\overrightarrow{MN}$: из координат конца вычитаем координаты начала:
$$
\overrightarrow{MN}=(x_N-x_M;\ y_N-y_M).
$$

2. Длина вектора $(x;y)$:
$$
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2}.
$$

3. Середина отрезка $MN$:
$$
\left(\frac{x_M+x_N}{2};\ \frac{y_M+y_N}{2}\right).
$$

4. Периметр треугольника — сумма длин всех трёх сторон.

5. Медиана — отрезок от вершины до середины противоположной стороны. Сначала находим середину, потом считаем расстояние.

Вариант 1 — по шагам

Дано: $A(2;-4)$, $B(-2;-6)$, $C(0;7)$.

а) $\overrightarrow{BC}=(0-(-2);\ 7-(-6))=(2;13)$.

б) $\overrightarrow{AB}=(-2-2;\ -6-(-4))=(-4;-2)$.
$$
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5.
$$

в) Середина $AC$:
$$
M_{AC}\left(\frac{2+0}{2};\ \frac{-4+7}{2}\right)=(1;1{,}5).
$$

г) Стороны:
$$
AB=2\sqrt5,\quad BC=\sqrt{2^2+13^2}=\sqrt{173},\quad AC=\sqrt{(0-2)^2+(7-(-4))^2}=\sqrt{4+121}=5\sqrt5.
$$
$$
P=2\sqrt5+\sqrt{173}+5\sqrt5=7\sqrt5+\sqrt{173}.
$$

д) Медиана $BM$ идёт к середине $AC$, то есть к $M(1;1{,}5)$:
$$
BM=\sqrt{(1-(-2))^2+(1{,}5-(-6))^2}=\sqrt{9+56{,}25}=\sqrt{65{,}25}=\frac{\sqrt{261}}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2}.
$$

Вариант 2 — по шагам

Дано: $A(4;-5)$, $B(-8;-6)$, $C(5;9)$.

а) $\overrightarrow{AC}=(5-4;\ 9-(-5))=(1;14)$.

б) $\overrightarrow{BC}=(5-(-8);\ 9-(-6))=(13;15)$.
$$
|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{13^2+15^2}=\sqrt{169+225}=\sqrt{394}.
$$

в) Середина $AB$:
$$
M_{AB}\left(\frac{4+(-8)}{2};\ \frac{-5+(-6)}{2}\right)=(-2;-5{,}5).
$$

г) Стороны:
$$
AB=\sqrt{(-8-4)^2+(-6-(-5))^2}=\sqrt{144+1}=\sqrt{145},
$$
$$
BC=\sqrt{394},\quad AC=\sqrt{(5-4)^2+(9-(-5))^2}=\sqrt{1+196}=\sqrt{197}.
$$
$$
P=\sqrt{145}+\sqrt{394}+\sqrt{197}.
$$

д) Медиана $CM$ идёт к середине $AB$, то есть к $M(-2;-5{,}5)$:
$$
CM=\sqrt{(-2-5)^2+(-5{,}5-9)^2}=\sqrt{49+210{,}25}=\sqrt{259{,}25}=\frac{\sqrt{1037}}{2}.
$$

Проверка

В варианте 1 найденная середина $M(1;1{,}5)$ действительно равноудалена от $A$ и $C$:
$$
AM=\sqrt{(1-2)^2+(1{,}5+4)^2}=\sqrt{31{,}25},\quad
CM=\sqrt{(1-0)^2+(1{,}5-7)^2}=\sqrt{31{,}25}.
$$
Значит, медиана $BM$ построена верно.

В варианте 2 точка $M(-2;-5{,}5)$ равноудалена от $A$ и $B$:
$$
AM=\sqrt{(-2-4)^2+(-5{,}5+5)^2}=\sqrt{36{,}25},\quad
BM=\sqrt{(-2+8)^2+(-5{,}5+6)^2}=\sqrt{36{,}25}.
$$
Всё сходится.