№1. На диаграмме в каждой области точками показаны все элементарные события некоторого опыта. Найдите вероятность события B.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
№1. На диаграмме в каждой области точками показаны все элементарные события некоторого опыта. Найдите вероятность события B. [Рисунок: прямоугольник; два пересекающихся овала A и B. Вне овалов — 1 точка (внизу слева). В области A вне пересечения — 3 точки. В пересечении — 4 точки. В области B вне пересечения — 3 точки.] №2. На диаграмме в каждой области указана вероятность для случайных событий A и B. В каждой из областей показана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события A. [Рисунок: два пересекающихся овала A и B. Вне обоих овалов — 0,3. В области A вне пересечения — 0,21. В пересечении — 0,1. В области B вне пересечения — 0,39.] №3. На диаграмме в каждой области показано, сколько исходов принадлежит данной области. Найдите вероятность события B. [Рисунок: два пересекающихся овала A и B. Вне обоих овалов — 16. В области A вне пересечения — 7. В пересечении — 6. В области B вне пересечения — 11.]
№4. На диаграмме в каждой области указана вероятность для случайных событий A и B. В каждой из областей показана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cap B\). [Рисунок: два пересекающихся овала A и B. Вне обоих овалов — 0,2. В области A вне пересечения — 0,11. В пересечении — 0,1. В области B вне пересечения — 0,59.] №5. На диаграмме в каждой области точками показаны все элементарные события некоторого опыта. Найдите вероятность события \(A \cap B\). [Рисунок: прямоугольник; два пересекающихся овала A и B. Вне овалов сверху — 3 точки, снизу — 3 точки. В области A вне пересечения — 4 точки. В пересечении — 4 точки. В области B вне пересечения — 2 точки.] №6. На диаграмме в каждой области показано, сколько исходов принадлежит данной области. Найдите вероятность события \(A \cup B\). [Рисунок: два пересекающихся овала A и B. Вне обоих овалов — 12. В области A вне пересечения — 8. В пересечении — 13. В области B вне пересечения — 17.] №7. На диаграмме в каждой области указана вероятность для случайных событий A и B. В каждой из областей показана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cap B\). [Рисунок: два пересекающихся овала A и B. Вне обоих овалов — 0,4. В области A вне пересечения — 0,2. В пересечении — 0,1. В области B вне пересечения — 0,3.]
Ф.И. ______ Дата ______ Класс ______ №8. На диаграмме в каждой области точками показаны все элементарные события некоторого опыта. Найдите вероятность события \(A \cup B\). [Рисунок: прямоугольник; два пересекающихся овала A и B. Вне овалов сверху — 3 точки, снизу — 5 точек. В области A вне пересечения — 4 точки. В пересечении — 4 точки. В области B вне пересечения — 4 точки.] №9. На диаграмме в каждой области показано, сколько исходов принадлежит данной области. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cap B\). [Рисунок: два пересекающихся овала A и B. Вне обоих овалов — 15. В области A вне пересечения — 4. В пересечении — 13. В области B вне пересечения — 18.] №10. На диаграмме в каждой области точками показаны все элементарные события некоторого опыта. Найдите вероятность события \(A \cup B\). [Рисунок: прямоугольник; два пересекающихся овала A и B. Вне овалов сверху — 3 точки, снизу — 2 точки. В области A вне пересечения — 4 точки. В пересечении — 4 точки. В области B вне пересечения — 4 точки.] №11. На диаграмме в каждой области точками показаны все элементарные события некоторого опыта. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cup B\). [Рисунок: прямоугольник; два пересекающихся овала A и B. Вне овалов сверху — 3 точки, снизу — 4 точки. В области A вне пересечения — 4 точки. В пересечении — 4 точки. В области B вне пересечения — 4 точки.]
№12. На диаграмме в каждой области указана вероятность для случайных событий A и B. В каждой из областей показана вероятность соответствующего события. Найдите вероятность события \(A \cup B\). [Рисунок: два пересекающихся овала A и B. Вне обоих овалов — 0,2. В области A вне пересечения — 0,28. В пересечении — 0,2. В области B вне пересечения — 0,32.] №13. На диаграмме в каждой области показано, сколько исходов принадлежит данной области. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cup B\). [Рисунок: два пересекающихся овала A и B. Вне обоих овалов — 2. В области A вне пересечения — 22. В пересечении — 9. В области B вне пересечения — 7.] №14. На диаграмме в каждой области точками показаны все элементарные события некоторого опыта. Найдите вероятность события \(\overline{A} \cup \overline{B}\). [Рисунок: прямоугольник; два пересекающихся овала A и B. Вне овалов сверху — 2 точки, снизу — 5 точек. В области A вне пересечения — 4 точки. В пересечении — 4 точки. В области B вне пересечения — 4 точки.] №15. На диаграмме в каждой области точками показаны все элементарные события некоторого опыта. Найдите вероятность события \(A \cap B\). [Рисунок: прямоугольник; два пересекающихся овала A и B. Вне овалов сверху — 2 точки, снизу — 2 точки. В области A вне пересечения — 2 точки. В пересечении — 4 точки. В области B вне пересечения — 3 точки.]
Коротко — ответы
- \(P(B)=\frac{7}{11}\approx0{,}64\)
- \(P(A)=0{,}31\)
- \(P(B)=0{,}425\)
- \(P(A\cap B)=0{,}1\)
- \(P(A\cap B)=0{,}25\)
- \(P(A\cup B)=0{,}76\)
- \(P(A\cap B)=0{,}1\)
- \(P(A\cup B)=0{,}6\)
- \(P(\overline{A}\cap B)=0{,}36\)
- \(P(A\cup B)=\frac{12}{17}\approx0{,}71\)
- \(P(\overline{A}\cup B)=\frac{15}{19}\approx0{,}79\)
- \(P(A\cup B)=0{,}8\)
- \(P(\overline{A}\cup B)=0{,}45\)
- \(P(\overline{A}\cup\overline{B})=\frac{15}{19}\approx0{,}79\)
- \(P(A\cap B)=\frac{4}{13}\approx0{,}31\)
Главное правило
Классическая вероятность: \[ P=\frac{m}{n}, \] где \(n\) — число всех элементарных исходов, \(m\) — число исходов, благоприятствующих событию.
Три типа диаграмм
- Точки. \(n\) — все точки внутри прямоугольника, \(m\) — точки внутри нужной фигуры (или фигур).
- Вероятности. Весь прямоугольник — это 1, вероятность события — сумма чисел в его областях.
- Числа исходов. \(n\) — сумма всех четырёх чисел, \(m\) — сумма чисел в нужных областях.
Разбор
Диаграммы с вероятностями
- №2: \(P(A)=0{,}21+0{,}1=0{,}31\). Проверка: \(0{,}3+0{,}21+0{,}1+0{,}39=1\).
- №4: \(P(A\cap B)=0{,}1\) — это число в пересечении.
- №7: \(P(A\cap B)=0{,}1\).
- №12: \(P(A\cup B)=0{,}28+0{,}2+0{,}32=0{,}8\).
Диаграммы с числом исходов
- №3: \(n=16+7+6+11=40\); \(P(B)=\frac{6+11}{40}=\frac{17}{40}=0{,}425\).
- №6: \(n=12+8+13+17=50\); \(P(A\cup B)=\frac{8+13+17}{50}=\frac{38}{50}=0{,}76\).
- №9: \(n=15+4+13+18=50\); \(\overline{A}\cap B\) — это «только \(B\)»: \(P=\frac{18}{50}=0{,}36\).
- №13: \(n=2+22+9+7=40\); \(\overline{A}\cup B\) — дополнение к «только \(A\)»: \(P=1-\frac{22}{40}=0{,}45\).
Диаграммы с точками
- №1: всего \(1+3+4+3=11\) точек; в \(B\): \(4+3=7\); \(P=\frac{7}{11}\approx0{,}64\).
- №5: всего \(3+4+4+2+3=16\); в пересечении 4; \(P=\frac{4}{16}=0{,}25\).
- №8: всего \(3+4+4+4+5=20\); в \(A\cup B\): \(4+4+4=12\); \(P=\frac{12}{20}=0{,}6\).
- №10: всего \(3+4+4+4+2=17\); в \(A\cup B\): \(4+4+4=12\); \(P=\frac{12}{17}\approx0{,}71\).
- №11: всего \(3+4+4+4+4=19\); \(\overline{A}\cup B\) — всё, кроме «только \(A\)»: \(19-4=15\); \(P=\frac{15}{19}\approx0{,}79\).
- №14: всего \(2+4+4+4+5=19\); \(\overline{A}\cup\overline{B}\) — всё, кроме пересечения: \(19-4=15\); \(P=\frac{15}{19}\approx0{,}79\).
- №15: всего \(2+2+4+3+2=13\); в пересечении 4; \(P=\frac{4}{13}\approx0{,}31\).
Почему так, а не иначе
- Сумма вероятностей всех четырёх областей всегда равна 1 — это видно в №2, 4, 7, 12.
- \(\overline{A}\) означает «\(A\) не произошло». Поэтому \(\overline{A}\cup B\) удобно считать через противоположное событие: \(1-P(A\cap\overline{B})\), то есть вычитаем «только \(A\)».
- \(\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}\) — «не произошло хотя бы одно из событий \(A\), \(B\)», то есть всё, кроме пересечения.
Точки я считал по фото. Если при увеличении в какой-то области число точек окажется другим, подставь его в ту же формулу — сам ход решения не изменится.
