номер 354
Сверь числа и знаки с фото.
354 Найти область определения функции:
- \(y = \lg(3x - 2)\);
- \(y = \log_2(7 - 5x)\);
- \(y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2)\);
- \(y = \log_7(4 - x^2)\).
Краткий ответ
\[ 1)\ D(y)=\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\qquad 2)\ D(y)=\left(-\infty;\frac{7}{5}\right) \] \[ 3)\ D(y)=(-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)\qquad 4)\ D(y)=(-2;2) \]
Почему так: главный принцип
Логарифм \(\log_a b\) существует только при положительном аргументе: \(b>0\) (основание \(a>0\), \(a\ne 1\) — здесь оно уже задано и подходит). Значит, для каждой функции достаточно решить неравенство «выражение под логарифмом \(>0\)». Само основание на ответ не влияет.
1) \(y=\lg(3x-2)\), то есть \(\log_{10}(3x-2)\): \[ 3x-2>0 \Rightarrow 3x>2 \Rightarrow x>\frac{2}{3} \]
2) \(y=\log_2(7-5x)\): \[ 7-5x>0 \Rightarrow 5x<7 \Rightarrow x<\frac{7}{5} \] Знак неравенства меняется при переносе — здесь чаще всего и ошибаются.
3) \(y=\log_{\frac12}(x^2-2)\): \[ x^2-2>0 \Rightarrow x^2>2 \Rightarrow |x|>\sqrt{2} \] Это два луча: \(x<-\sqrt{2}\) или \(x>\sqrt{2}\). Внутрь интервала \((-\sqrt{2};\sqrt{2})\) попадать нельзя — там квадрат меньше 2.
4) \(y=\log_7(4-x^2)\): \[ 4-x^2>0 \Rightarrow x^2<4 \Rightarrow |x|<2 \] Здесь наоборот — только внутренность интервала.
Проверка
- Пункт 3: при \(x=0\) аргумент \(0-2=-2<0\) — не годится, и \(0\) действительно не входит в ответ. При \(x=2\): \(4-2=2>0\) — годится, \(2>\sqrt{2}\approx1{,}41\). ✔
- Пункт 4: при \(x=0\) аргумент \(4>0\) — годится. При \(x=3\): \(4-9=-5<0\) — не годится, и \(3\notin(-2;2)\). ✔
Вывод-алгоритм: выписал аргумент → потребовал \(>0\) → решил неравенство (линейное или квадратное) → записал ответ промежутками, не забыв, что у квадратного неравенства со знаком «\(>\)» ответ — объединение двух лучей.
Обсуждение
6 сообщенийраспиши именно 3
Пункт 3 подробно
\[ y=\log_{\frac12}\left(x^2-2\right) \]
1. Что требует логарифм
Запись \(\log_a b\) имеет смысл при двух условиях: \(a>0,\ a\ne 1\) и \(b>0\).
- Основание \(a=\frac12\): \(\frac12>0\) и \(\frac12\ne 1\) — подходит, ограничений не даёт.
- Аргумент \(b=x^2-2\) — вот на него и накладываем условие:
\[ x^2-2>0 \]
Важно: основание \(\frac12\) меньше единицы, но на область определения это не влияет. Оно важно только когда решают неравенство с самим логарифмом (там знак переворачивается), а здесь мы работаем только с аргументом.
2. Решаем неравенство \(x^2-2>0\)
Сначала находим нули выражения:
\[ x^2-2=0 \quad\Rightarrow\quad x^2=2 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt2 \]
То есть \(x_1=-\sqrt2\), \(x_2=\sqrt2\) (примерно \(-1{,}41\) и \(1{,}41\)).
3. Метод интервалов
Отмечаем точки \(-\sqrt2\) и \(\sqrt2\) на числовой прямой. Неравенство строгое (\(>\)), поэтому обе точки выколоты.
График \(y=x^2-2\) — парабола ветвями вверх, она пересекает ось \(Ox\) в этих двух точках. Значит, выше оси (то есть \(x^2-2>0\)) она находится слева от \(-\sqrt2\) и справа от \(\sqrt2\):
\[ \underbrace{(-\infty;-\sqrt2)}_{+}\quad \underbrace{(-\sqrt2;\sqrt2)}_{-}\quad \underbrace{(\sqrt2;+\infty)}_{+} \]
Проверка знаков подстановкой:
- \(x=-2\): \((-2)^2-2=4-2=2>0\) ✔
- \(x=0\): \(0-2=-2<0\) ✘
- \(x=2\): \(4-2=2>0\) ✔
4. Ответ
\[ x\in(-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty) \]
\[ \boxed{D(y)=(-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)} \]
Короткий способ-«формула»
\[ x^2>2 \quad\Leftrightarrow\quad |x|>\sqrt2 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{array}{l} x<-\sqrt2\\ x>\sqrt2\end{array}\right. \]
То есть «квадрат больше числа» — это всегда два луча (уходим от нуля в обе стороны). Сравни с пунктом 4, где было \(4-x^2>0\), то есть \(x^2<4\), \(|x|<2\) — там получается один интервал \((-2;2)\). Это главное различие, которое стоит запомнить.
Используй пожалуйста всё только без текста именно буквенного
\[ 1)\quad y=\lg(3x-2) \] \[ 3x-2>0\ \Leftrightarrow\ 3x>2\ \Leftrightarrow\ x>\frac{2}{3} \] \[ D(y)=\left(\frac{2}{3};+\infty\right) \]
\[ 2)\quad y=\log_2(7-5x) \] \[ 7-5x>0\ \Leftrightarrow\ -5x>-7\ \Leftrightarrow\ x<\frac{7}{5} \] \[ D(y)=\left(-\infty;\frac{7}{5}\right) \]
\[ 3)\quad y=\log_{\frac{1}{2}}\left(x^2-2\right) \] \[ x^2-2>0\ \Leftrightarrow\ x^2>2\ \Leftrightarrow\ |x|>\sqrt{2} \] \[ D(y)=(-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty) \]
\[ 4)\quad y=\log_7\left(4-x^2\right) \] \[ 4-x^2>0\ \Leftrightarrow\ x^2<4\ \Leftrightarrow\ |x|<2 \] \[ D(y)=(-2;2) \]
\[ \boxed{ \begin{array}{c|c} 1 & \left(\frac{2}{3};+\infty\right)\\[2pt] 2 & \left(-\infty;\frac{7}{5}\right)\\[2pt] 3 & (-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)\\[2pt] 4 & (-2;2) \end{array}} \]
Распиши подробно четвёртое без буквенного текста
\[ y=\log_7(4-x^2) \]
\[ \log_7 a \quad\Rightarrow\quad a>0 \]
\[ a=4-x^2 \]
\[ 4-x^2>0 \]
\[ 4-x^2=0 \]
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm 2 \]
\[ x_1=-2,\qquad x_2=2 \]
\[ 4-x^2>0\ \Leftrightarrow\ -(x^2-4)>0\ \Leftrightarrow\ x^2-4<0 \]
\[ x^2-4<0 \]
\[ (x-2)(x+2)<0 \]
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty;-2) & -2 & (-2;2) & 2 & (2;+\infty)\\ \hline x-2 & - & - & - & 0 & +\\ x+2 & - & 0 & + & + & +\\ (x-2)(x+2) & + & 0 & - & 0 & + \end{array} \]
\[ (x-2)(x+2)<0 \]
\[ x\in(-2;2) \]
\[ x=-2:\quad 4-(-2)^2=4-4=0 \]
\[ x=2:\quad 4-2^2=4-4=0 \]
\[ 0>0 \quad \text{— неверно} \]
\[ x=-2,\ x=2\quad \notin D(y) \]
\[ x=0:\quad 4-0^2=4>0 \]
\[ x=3:\quad 4-3^2=4-9=-5<0 \]
\[ \boxed{D(y)=(-2;2)} \]
