Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x^{2}-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=2,\; x_{2}=3 \]

Как это получить

Способ 1. По теореме Виета (самый быстрый). Для приведённого уравнения \(x^{2}+px+q=0\) сумма корней равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Здесь \(p=-5\), \(q=6\), значит:

\[ x_{1}+x_{2}=5,\qquad x_{1}\cdot x_{2}=6 \]

Подбираем два числа: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\). Отсюда \(x_{1}=2\), \(x_{2}=3\).

Способ 2. Разложение на множители. Ищем числа, дающие в сумме \(-5\), а в произведении \(6\) — это \(-2\) и \(-3\):

\[ x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \(x-2=0\) или \(x-3=0\).

Способ 3. Через дискриминант (работает всегда). Здесь \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\):

\[ D=b^{2}-4ac=25-24=1>0 \]

Корней два:

\[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}=\frac{5\pm 1}{2} \]

то есть \(x_{1}=\frac{6}{2}=3\), \(x_{2}=\frac{4}{2}=2\).

Проверка

Подставим \(x=2\): \(4-10+6=0\) — верно. Подставим \(x=3\): \(9-15+6=0\) — верно.

Принцип на будущее: если \(D>0\) — два корня, \(D=0\) — один корень, \(D<0\) — действительных корней нет. А если уравнение приведённое и корни целые, Виета экономит время: ищи пару чисел по сумме и произведению.