Реши задание на изображении

Решение

1) \(y=(x^3+1)^{2/3}=\sqrt[3]{(x^3+1)^2}\) Корень нечётной степени существует при любом \(x\), значит \[ D(y)=\mathbb{R}. \]

2) \(y=x^{-6}=\frac{1}{x^6}\) \(D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)\), \(E(y)=(0;+\infty)\); функция чётная; убывает на \((0;+\infty)\), возрастает на \((-\infty;0)\); \(x=0\) и \(y=0\) — асимптоты.

Сравнение (все основания положительны, на \((0;+\infty)\) функция убывает — большему основанию соответствует меньшее значение): \[ (5{,}6)^{-6}<\left(\frac{7}{3}\right)^{-6}<\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{-6}=(\sqrt3)^{6}=27. \]

3) Уравнения

а) \(\sqrt{2x-2}+\sqrt{x+6}=4\), ОДЗ: \(x\ge1\). \[ \sqrt{2x-2}=4-\sqrt{x+6},\qquad x\le10 \] \[ 2x-2=x+22-8\sqrt{x+6}\;\Rightarrow\;24-x=8\sqrt{x+6} \] \[ 576-48x+x^2=64x+384\;\Rightarrow\;x^2-112x+192=0 \] \[ x=56\pm8\sqrt{46} \] \(x=56+8\sqrt{46}\approx110\) не подходит (\(x\le10\)). Ответ: \(x=56-8\sqrt{46}\approx1{,}74\).

б) \(\sqrt[3]{2x^2-7}=1\Rightarrow 2x^2-7=1\Rightarrow x^2=4\). Ответ: \(x=\pm2\).

в) \(\sqrt{15-x}=6-\sqrt{3-x}\), ОДЗ: \(-33\le x\le3\). \[ 15-x=36-12\sqrt{3-x}+3-x\;\Rightarrow\;12\sqrt{3-x}=24 \] \[ \sqrt{3-x}=2\Rightarrow x=-1. \] Ответ: \(x=-1\).

г) \(\sqrt{x^2+x-3}=3\Rightarrow x^2+x-3=9\) \[ x^2+x-12=0\Rightarrow x=3;\quad x=-4. \] Оба корня подходят.

4) \(y=\sqrt[5]{3x+1}\) \[ y^5=3x+1\Rightarrow x=\frac{y^5-1}{3} \] Обратная функция: \[ y=\frac{x^5-1}{3},\qquad D=\mathbb{R},\ E=\mathbb{R}. \]

5) \(\sqrt{x-3}>x-5\), ОДЗ: \(x\ge3\).

• При \(3\le x<5\): правая часть отрицательна, левая \(\ge0\) — верно, то есть \(x\in[3;5)\).
• При \(x\ge5\) обе части неотрицательны: \[ x-3>x^2-10x+25\Rightarrow x^2-11x+28<0\Rightarrow 4<x<7, \] отсюда \(x\in[5;7)\).

Ответ: \[ x\in[3;7). \]

Если в п. 2 показатель степени записан как \(-8\), то \(\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^{-8}=3^4=81\); сам порядок чисел не меняется.