Вариант 1. 1. Сравните дроби: а) 7/12 и 3/4; б) 8/54 и 12/81. 2. Выполните действия: а) 3/8 + 2/3 − 1/12; б) 3/16 + (1/4 − 1/12).

Краткий ответ

1. Сравнение дробей

• а) \(\frac{7}{12} < \frac{3}{4}\)
• б) \(\frac{8}{54} = \frac{12}{81}\)

2. Действия

• а) \(\frac{3}{8}+\frac{2}{3}-\frac{1}{12}=\frac{23}{24}\)
• б) \(\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\right)=\frac{17}{48}\)

3. Периметр треугольника \[ P=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}+\frac{5}{6}=\frac{41}{24}=1\frac{17}{24}\ \text{м} \]

Как это решать (принцип)

Главная идея: дроби можно сравнивать и складывать только тогда, когда у них одинаковый знаменатель. Значит, любой пример начинается с приведения к общему знаменателю — обычно это НОК знаменателей.

1а) Общий знаменатель 12: \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\). Теперь числители сравнимы: \(7<9\), значит \(\frac{7}{12}<\frac{3}{4}\).

1б) Здесь выгоднее сначала сократить: \(\frac{8}{54}=\frac{4}{27}\), \(\frac{12}{81}=\frac{4}{27}\). Получились одинаковые дроби, поэтому они равны (это видно и по приведению к 162).

2а) НОК(8, 3, 12) = 24: \[ \frac{9}{24}+\frac{16}{24}-\frac{2}{24}=\frac{9+16-2}{24}=\frac{23}{24} \] Дробь несократима: 23 — простое число.

2б) Сначала скобки: \(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{3}{12}-\frac{1}{12}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\). Затем \(\frac{3}{16}+\frac{1}{6}\), НОК(16, 6) = 48: \[ \frac{9}{48}+\frac{8}{48}=\frac{17}{48} \]

3) Периметр — сумма длин всех сторон, знаменатели 8, 2, 6, НОК = 24: \[ \frac{9}{24}+\frac{12}{24}+\frac{20}{24}=\frac{41}{24}=1\frac{17}{24}\ \text{м} \] Выделение целой части: \(41:24=1\) (ост. 17).

Проверка

• \(23/24\approx0{,}958\); по десятичным: \(0{,}375+0{,}667-0{,}083\approx0{,}958\) ✔
• \(17/48\approx0{,}354\); \(0{,}1875+0{,}1667\approx0{,}354\) ✔
• \(41/24\approx1{,}71\); \(0{,}375+0{,}5+0{,}833\approx1{,}71\) ✔