535 номер помоги решить

Question

Расшифровка фото нейросетью:
535 Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
Решение
Пусть AD — биссектриса треугольника ABC. Докажем, что
$$
\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}
$$
(рис. 190). Треугольники ABD и ACD имеют общую [обрезано]
[Рисунок: треугольник ABC; из вершины A проведены высота AH к прямой BC (прямой угол при H) и биссектриса AD; на прямой BC последовательно отмечены точки H, B, D, C; углы BAD и DAC обозначены цифрами 1 и 2.]

Answer

Кратко: если $AD$ — биссектриса $\angle BAC$, а $D\in BC$, то

$$
\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}
\quad\text{или, что то же самое,}\quad
\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}.
$$

Почему это верно

1. Опустим из $D$ перпендикуляры $DK$ и $DL$ к прямым $AB$ и $AC$. Так как $D$ лежит на биссектрисе угла $A$, эти перпендикуляры равны:
$$
DK=DL=h.
$$

2. Выразим площади треугольников $ABD$ и $ACD$ через стороны $AB$, $AC$ и высоту $h$:
$$
S_{ABD}=\frac12 AB\cdot h,\qquad
S_{ACD}=\frac12 AC\cdot h.
$$
Поэтому
$$
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB}{AC}. \tag{1}
$$

3. С другой стороны, у треугольников $ABD$ и $ACD$ общая высота $AH$, проведённая из вершины $A$ к прямой $BC$. Значит,
$$
\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}
=\frac{\frac12 BD\cdot AH}{\frac12 CD\cdot AH}
=\frac{BD}{CD}. \tag{2}
$$

4. Сравниваем (1) и (2):
$$
\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}.
$$
После перестановки получаем:
$$
\frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}.
$$

Проверка на примере. Пусть $AB=6$, $AC=9$, $BC=10$. Тогда $BD:CD=6:9=2:3$, то есть $BD=4$, $CD=6$. Проверяем:
$$
\frac{BD}{AB}=\frac{4}{6}=\frac23,\qquad
\frac{CD}{AC}=\frac{6}{9}=\frac23.
$$
Всё сходится.

535 номер помоги решить

Обсуждение