Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ

\[ x_1=2,\qquad x_2=3 \]

Как это понять

Способ 1. Разложение на множители. Ищем два числа, которые в произведении дают \(6\), а в сумме \(5\). Это \(2\) и \(3\):

\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]

Значит:

\[ (x-2)(x-3)=0 \]

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ x-2=0 \;\Rightarrow\; x=2,\qquad x-3=0 \;\Rightarrow\; x=3 \]

Способ 2. Через теорему Виета. Для уравнения \(x^2+px+q=0\) корни удовлетворяют:

\[ x_1+x_2=-p=5,\qquad x_1\cdot x_2=q=6 \]

Подбираем: \(2+3=5\) и \(2\cdot 3=6\) — подходит.

Способ 3. Через дискриминант (работает всегда).

\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1 \]

\[ x=\frac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{5\pm 1}{2} \]

\[ x_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad x_2=\frac{5+1}{2}=3 \]

Проверка

\[ 2^2-5\cdot 2+6=4-10+6=0 \]

\[ 3^2-5\cdot 3+6=9-15+6=0 \]

Оба корня подходят.

Главная идея: приведённое квадратное уравнение удобно решать подбором корней по Виету, а если числа не подбираются — через дискриминант.