Алгебра. Решение неравенств второй степени с одной переменной. Задание 1. Решите неравенство: 1) -x²+5x-6≤0 2) x²+10x+25≥0

На листе шесть заданий. В №5.2 подкоренное выражение читаю как \(-x^2-x+12\).

1. Решите неравенство

1)
\[ -x^2+5x-6\le 0 \Longleftrightarrow x^2-5x+6\ge 0 \] \[ (x-2)(x-3)\ge 0 \] Корни — \(2\) и \(3\), ветви параболы вверх. Значит, подходит внешняя часть: \[ x\in(-\infty;2]\cup[3;+\infty) \]

2)
\[ x^2+10x+25\ge 0 \] \[ (x+5)^2\ge 0 \] Квадрат всегда неотрицателен, поэтому: \[ x\in\mathbb{R} \] То есть неравенство верно при любом \(x\).

2. Знаки трёхчлена

\[ 6-5x-x^2=-(x+6)(x-1) \] Корни: \(-6\) и \(1\). Старший коэффициент отрицательный, поэтому выражение положительно между корнями.

1) Неотрицательные значения: \[ x\in[-6;1] \]

2) Положительные значения: \[ x\in(-6;1) \]

3. Докажите неравенство

\[ x^2+4x+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1 \] Так как \((x+2)^2\ge 0\), то \[ (x+2)^2+1\ge 1>0 \] Поэтому при любом \(x\): \[ x^2+4x+5>0 \] а значит, и \(x^2+4x+5\ge 0\).

4. Найдите множество решений

1)
\[ -x^2-x-21\ge 0 \] Умножим на \(-1\), поменяв знак: \[ x^2+x+21\le 0 \] Дискриминант: \[ D=1-4\cdot21=-83<0 \] Левая часть всегда положительна, поэтому она не может быть \(\le 0\): \[ x\in\varnothing \] Решений нет.

2)
\[ -x^2-3x+10<0 \] \[ x^2+3x-10>0 \] \[ (x+5)(x-2)>0 \] Корни \(-5\) и \(2\), знак «+» вне корней: \[ x\in(-\infty;-5)\cup(2;+\infty) \]

5. Область определения функции

1)
\[ y=\sqrt{x^2+2x} \] Нужно: \[ x^2+2x\ge 0 \] \[ x(x+2)\ge 0 \] \[ x\in(-\infty;-2]\cup[0;+\infty) \]

2)
\[ y=\frac{1}{\sqrt{-x^2-x+12}} \] Нужно, чтобы под корнем было строго больше нуля: \[ -x^2-x+12>0 \] \[ x^2+x-12<0 \] \[ (x+4)(x-3)<0 \] \[ x\in(-4;3) \]

6. Параметр \(a\)

\[ x^2+2ax-a=0 \] \[ D=(2a)^2-4\cdot1\cdot(-a)=4a^2+4a=4a(a+1) \]

1) Нет решений:
\[ D<0 \] \[ 4a(a+1)<0 \] \[ a\in(-1;0) \]

2) Ровно два корня:
\[ D>0 \] \[ a(a+1)>0 \] \[ a\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty) \]

При \(a=-1\) и \(a=0\) дискриминант равен нулю — получается один корень, поэтому эти значения во второй пункт не входят.

\[ \boxed{ \begin{aligned} &1.1)\ (-\infty;2]\cup[3;+\infty);\quad 1.2)\ \mathbb{R};\\ &2.1)\ [-6;1];\quad 2.2)\ (-6;1);\\ &4.1)\ \varnothing;\quad 4.2)\ (-\infty;-5)\cup(2;+\infty);\\ &5.1)\ (-\infty;-2]\cup[0;+\infty);\quad 5.2)\ (-4;3);\\ &6.1)\ a\in(-1;0);\quad 6.2)\ a\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty). \end{aligned} } \]

Общий принцип для квадратных неравенств: найди корни, отметь их на числовой прямой и определи знак выражения на промежутках. Если неравенство нестрогое и выражение существует в корне, концы включаются квадратными скобками; нули знаменателя и строгие неравенства всегда дают круглые скобки.