Среди данных уравнений 2x + 3y − 6 = 0, xy + 2 = 0, x² + y − 4 = 0, x² + y² − 4 = 0, (3x + y)/2 = 3, y² − 2y − x + 1 = 0, 4x = −y найдите:
Реши задание на изображении
Краткий ответ
1. Среди семи уравнений:
- а) прямые: \(2x+3y-6=0\); \(\dfrac{3x+y}{2}=3\); \(4x=-y\);
- б) параболы: \(x^{2}+y-4=0\); \(y^{2}-2y-x+1=0\);
- в) гипербола: \(xy+2=0\);
- г) окружность: \(x^{2}+y^{2}-4=0\).
2. а) прямая \(y=3-\dfrac{x}{2}\) через точки \((0;3)\) и \((6;0)\); б) две прямые \(x=-2\) и \(y=1\); в) гипербола \(y=-\dfrac{3}{x}\) с ветвями во II и IV четвертях.
Как распознать тип линии
Уравнение с двумя переменными задаёт на плоскости множество точек. Тип этого множества виден по «старшим» членам:
| Что есть в уравнении | Линия |
|---|---|
| только \(x\) и \(y\) в первой степени | прямая |
| \(x^{2}\) или \(y^{2}\) (одна из них), другая переменная в первой степени | парабола |
| произведение \(xy\) | гипербола |
| \(x^{2}\) и \(y^{2}\) с одинаковыми коэффициентами | окружность |
Разбор каждого уравнения
- \(2x+3y-6=0\) — степени только первые \(\Rightarrow\) прямая.
- \(xy+2=0 \Rightarrow y=-\dfrac{2}{x}\) — есть \(xy\) \(\Rightarrow\) гипербола.
- \(x^{2}+y-4=0 \Rightarrow y=4-x^{2}\) — есть \(x^{2}\), а \(y\) в первой степени \(\Rightarrow\) парабола (ветви вниз, вершина \((0;4)\)).
- \(x^{2}+y^{2}-4=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}=4\) — квадраты с равными коэффициентами \(\Rightarrow\) окружность с центром \((0;0)\) и \(R=2\).
- \(\dfrac{3x+y}{2}=3 \Rightarrow 3x+y=6 \Rightarrow y=6-3x\) — прямая.
- \(y^{2}-2y-x+1=0\) — выделим квадрат: \(y^{2}-2y+1=x\), то есть \((y-1)^{2}=x\). Квадрат есть только у \(y\) \(\Rightarrow\) парабола с вершиной \((0;1)\), ветви направлены вправо (ведь \(x\ge 0\)).
- \(4x=-y \Rightarrow y=-4x\) — прямая.
Проверка: \(3+2+1+1=7\) — все семь уравнений распределены, ни одно не потеряно.
Второе задание: как строить
а) \(x+2y=6 \Rightarrow y=3-\dfrac{x}{2}\). Прямая задаётся двумя точками: при \(x=0\) получаем \(y=3\), при \(y=0\) получаем \(x=6\). Проводим прямую через \((0;3)\) и \((6;0)\).
б) Произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один множитель: \[ (x+2)(y-1)=0 \iff x+2=0 \ \text{или}\ y-1=0 \iff x=-2 \ \text{или}\ y=1 . \] Это объединение двух прямых: вертикальной \(x=-2\) и горизонтальной \(y=1\). Они пересекаются в точке \((-2;1)\), и эта точка тоже принадлежит графику.
в) \(xy=-3 \Rightarrow y=-\dfrac{3}{x}\). Составим таблицу:
| \(x\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(1\) | \(3\) | \(-3\) | \(-1\) |
Ветви лежат во II и IV четвертях (там \(xy<0\)), оси координат — асимптоты. Проверка: подстановка \(x=-1\) даёт \(y=3\), и \((-1)\cdot 3=-3\) — верно.
Вывод-правило: сначала приведи уравнение к виду \(y=f(x)\) или выдели квадрат — и тип линии сразу станет виден. Осторожно с похожими записями: \(x^{2}+y-4=0\) — парабола, а \(x^{2}+y^{2}-4=0\) — окружность.
Обсуждение
2 сообщенияпострой графики
Кратко
Нужно сделать три отдельных чертежа (масштаб удобно взять 1 клетка = 1 единица): а) одна прямая; б) две прямые (вертикальная и горизонтальная); в) гипербола из двух ветвей.
а) \(x+2y=6\)
Приводим к виду \(y=3-\dfrac{x}{2}\). Прямая строится по двум точкам, ещё две — для проверки.
| \(x\) | \(-2\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(4\) | \(3\) | \(2\) | \(1\) | \(0\) |
Как чертить:
- Отметь точку \((0;3)\) — на оси \(Oy\) на 3 клетки вверх.
- Отметь точку \((6;0)\) — на оси \(Ox\) на 6 клеток вправо.
- Приложи линейку и проведи прямую через них, продлив её за точки в обе стороны.
- Остальные точки из таблицы должны лечь ровно на эту прямую — так проверяешь себя.
Прямая идёт вниз слева направо, пересекает оси в \((0;3)\) и \((6;0)\).
б) \((x+2)(y-1)=0\)
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой: \[ x=-2 \quad \text{или} \quad y=1 . \] График — объединение двух прямых.
Как чертить:
- Прямая \(x=-2\): вертикальная линия на 2 клетки левее оси \(Oy\) (точки \((-2;-3)\), \((-2;0)\), \((-2;2)\), \((-2;4)\)).
- Прямая \(y=1\): горизонтальная линия на 1 клетку выше оси \(Ox\) (точки \((-4;1)\), \((-2;1)\), \((0;1)\), \((3;1)\)).
- Обе прямые проводятся целиком, до краёв чертежа.
Важно: точка пересечения \((-2;1)\) тоже принадлежит графику — её стоит отметить кружком, как и все точки обеих прямых. Это не график функции: одному \(x\) соответствует много \(y\).
в) \(xy=-3\), то есть \(y=-\dfrac{3}{x}\)
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(-0{,}5\) | \(-1\) | \(-1{,}5\) | \(-3\) | \(3\) | \(1{,}5\) | \(1\) | \(0{,}5\) |
Осторожно: в таблице выше \(y\) для отрицательных \(x\) — положительные, поэтому правильная таблица по ветвям такая:
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y=-\frac{3}{x}\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(1{,}5\) | \(3\) | \(-3\) | \(-1{,}5\) | \(-1\) | \(-0{,}5\) |
Как чертить:
- Левая ветвь (II четверть, \(x<0\), \(y>0\)): точки \((-6;0{,}5)\), \((-3;1)\), \((-2;1{,}5)\), \((-1;3)\). Соединяй плавной линией: она прижимается к оси \(Ox\) слева и уходит вверх вдоль оси \(Oy\).
- Правая ветвь (IV четверть, \(x>0\), \(y<0\)): точки \((6;-0{,}5)\), \((3;-1)\), \((2;-1{,}5)\), \((1;-3)\). Ветвь симметрична первой относительно начала координат.
- Оси \(Ox\) и \(Oy\) — асимптоты: график к ним приближается, но не касается и не пересекает их. Около осей добавь по одной-две точки (\(x=\pm 0{,}5\), тогда \(y=\pm 6\); или \(x=\pm 4\), \(y=\pm 0{,}75\)), чтобы линии получились плавными, без изломов.
- Ветви рисуй одним движением, без углов — это кривые.
Проверка для всех трёх: возьми любую точку графика и подставь её координаты в уравнение.
- а) \((4;1)\): \(4+2\cdot 1=6\) ✔
- б) \((-2;1)\): \((-2+2)(1-1)=0\) ✔
- в) \((-3;1)\): \((-3)\cdot 1=-3\) ✔
И ещё контроль: у гиперболы \(y=-\frac{3}{x}\) осей симметрии две — точка \((-1;3)\) должна иметь «двойника» \((1;-3)\), а \((3;-1)\) — двойника \((-3;1)\). Если при построении это выполняется, чертёж верный.
