174 Разберите, как выполнено умножение в Образце и примените такой же приём при вычислении произведения: а) 15 · 14; б) 35 · 12; в) 44 · 25; г) 75 · 16.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
174 Разберите, как выполнено умножение в Образце и примените такой же приём при вычислении произведения:
а) $15 \cdot 14$;
б) $35 \cdot 12$;
в) $44 \cdot 25$;
г) $75 \cdot 16$.
Образец. $16 \cdot 15 = (8 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 5) = (8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 240$.
175 Найдите разные способы вычисления данного произведения и запишите соответствующие цепочки равенств:
а) $36 \cdot 25$;
б) $32 \cdot 125$.
Вынесение общего множителя за скобки
Для любых чисел $a$, $b$ и $c$:
$a \cdot c + b \cdot c = c \cdot (a + b)$; $a \cdot c - b \cdot c = c \cdot (a - b)$.
Пример 1.
$17 \cdot 7 + 13 \cdot 7 = 7 \cdot (17 + 13) = 7 \cdot 30 = 210$.
Пример 2.
$16 \cdot 9 - 14 \cdot 9 = 9 \cdot (16 - 14) = 9 \cdot 2 = 18$.
176 Найдите значение выражения, применив распределительное свойство:
а) $14 \cdot 4 + 16 \cdot 4$;
б) $18 \cdot 3 + 12 \cdot 3$;
в) $13 \cdot 7 + 7 \cdot 17$;
г) $68 \cdot 18 - 68 \cdot 8$;
д) $74 \cdot 16 - 74 \cdot 15$;
е) $33 \cdot 52 - 31 \cdot 52$.
177 Вычислите, используя распределительное свойство:
а) $21^{2} + 21 \cdot 9$;
б) $37^{2} + 37 \cdot 63$;
в) $25^{2} - 25 \cdot 15$;
г) $45^{2} - 45 \cdot 35$.

Answer

На фото несколько номеров — 174–177. Ниже разобрал все видимые задания.

Краткие ответы:
174 — 210, 420, 1100, 1200;
175 — 900 и 4000;
176 — 120, 90, 210, 680, 74, 104;
177 — 630, 3700, 250, 450.

174. Приём: разложить множители и перегруппировать

Главная идея — переставлять множители так, чтобы получались «круглые» числа: 10, 20, 100.

а)
$$
15\cdot14=(3\cdot5)\cdot(2\cdot7)=(3\cdot7)\cdot(5\cdot2)=21\cdot10=210
$$

б)
$$
35\cdot12=(5\cdot7)\cdot(3\cdot4)=(7\cdot3)\cdot(5\cdot4)=21\cdot20=420
$$

в)
$$
44\cdot25=(11\cdot4)\cdot(5\cdot5)=(11\cdot5)\cdot(4\cdot5)=55\cdot20=1100
$$

г)
$$
75\cdot16=(3\cdot25)\cdot(4\cdot4)=(3\cdot4)\cdot(25\cdot4)=12\cdot100=1200
$$

175. Разные способы вычисления

а) $36\cdot25$

1-й способ:
$$
36\cdot25=(9\cdot4)\cdot25=9\cdot(4\cdot25)=9\cdot100=900
$$

2-й способ:
$$
36\cdot25=36\cdot(5\cdot5)=(36\cdot5)\cdot5=180\cdot5=900
$$

3-й способ:
$$
36\cdot25=(6\cdot6)\cdot(5\cdot5)=(6\cdot5)\cdot(6\cdot5)=30\cdot30=900
$$

б) $32\cdot125$

1-й способ:
$$
32\cdot125=(4\cdot8)\cdot125=4\cdot(8\cdot125)=4\cdot1000=4000
$$

2-й способ:
$$
32\cdot125=32\cdot(5\cdot5\cdot5)=(32\cdot5)\cdot5\cdot5=160\cdot25=4000
$$

3-й способ:
$$
32\cdot125=(16\cdot2)\cdot(25\cdot5)=(16\cdot25)\cdot(2\cdot5)=400\cdot10=4000
$$

176. Распределительное свойство

Используем правило в обратную сторону:
$$
a c+b c=c(a+b),\qquad a c-b c=c(a-b)
$$

а)
$$
14\cdot4+16\cdot4=4(14+16)=4\cdot30=120
$$

б)
$$
18\cdot3+12\cdot3=3(18+12)=3\cdot30=90
$$

в)
$$
13\cdot7+7\cdot17=7(13+17)=7\cdot30=210
$$

г)
$$
68\cdot18-68\cdot8=68(18-8)=68\cdot10=680
$$

д)
$$
74\cdot16-74\cdot15=74(16-15)=74\cdot1=74
$$

е)
$$
33\cdot52-31\cdot52=52(33-31)=52\cdot2=104
$$

177. Вынесение общего множителя

Здесь важно помнить, что $21^2=21\cdot21$, $37^2=37\cdot37$ и так далее.

а)
$$
21^2+21\cdot9=21(21+9)=21\cdot30=630
$$

б)
$$
37^2+37\cdot63=37(37+63)=37\cdot100=3700
$$

в)
$$
25^2-25\cdot15=25(25-15)=25\cdot10=250
$$

г)
$$
45^2-45\cdot35=45(45-35)=45\cdot10=450
$$

Проверка: например, $210:14=15$, $4000:125=32$, $680:68=10$, $630:21=30$. Всё сходится.