180 задание 6 пункт

На фото пункт 6 находится под №188; №180 в кадре нет. Ниже — решение видимого пункта 6:

\[ \sqrt{x+6-4\sqrt{x+2}}+\sqrt{11+x-6\sqrt{x+2}}=1. \]

Краткий ответ: \(x\in[2;7]\).

Как решать

1. Область определения: \[ x+2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge -2. \]

2. Введём замену: \[ t=\sqrt{x+2},\qquad t\ge 0. \] Тогда \[ x=t^2-2. \]

3. Подставим в подкоренные выражения: \[ x+6-4\sqrt{x+2} =(t^2-2)+6-4t =t^2-4t+4 =(t-2)^2, \] \[ 11+x-6\sqrt{x+2} =11+(t^2-2)-6t =t^2-6t+9 =(t-3)^2. \]

4. Поэтому уравнение принимает вид: \[ \sqrt{(t-2)^2}+\sqrt{(t-3)^2}=1. \] Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\): \[ |t-2|+|t-3|=1. \]

5. На числовой прямой это сумма расстояний от \(t\) до точек \(2\) и \(3\). Расстояние между \(2\) и \(3\) равно \(1\), поэтому сумма равна \(1\) ровно тогда, когда \(t\) находится между ними: \[ 2\le t\le 3. \]

6. Возвращаемся к \(x\): \[ 2\le \sqrt{x+2}\le 3. \] Все части неотрицательны, возводим в квадрат: \[ 4\le x+2\le 9, \] \[ 2\le x\le 7. \]

Проверка: при \(x=2\) получаем \(t=2\), сумма модулей равна \(0+1=1\); при \(x=7\) получаем \(t=3\), сумма равна \(1+0=1\). Внутри отрезка \(t\in[2;3]\), поэтому \[ |t-2|+|t-3|=(t-2)+(3-t)=1. \]

Значит, решением является весь отрезок: \[ \boxed{x\in[2;7]}. \]