20.4

Краткие ответы (везде \(k\in\mathbb Z\)):

1. \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\) или \(x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi k\);

2. \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctan 2+\pi k\);

3. \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=-\arctan\dfrac{2}{5}+\pi k\);

4. \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\arctan\dfrac{1}{4}+\pi k\).

Как решать

Обозначим \(s=\sin x,\ c=\cos x\). Постоянную можно превратить в квадратичное выражение с помощью \(1=s^2+c^2\). После этого получается уравнение вида

\[ As^2+Bsc+Cc^2=0. \]

Делить на \(c^2\) можно только при \(c\ne0\). Поэтому отдельно проверяем случай \(\cos x=0\).

---

1) \(4\cos^2x+\sin x\cos x+3\sin^2x-3=0\)

Заменяем \(3=3(s^2+c^2)\):

\[ 4c^2+sc+3s^2-3s^2-3c^2=0 \]

\[ c^2+sc=c(c+s)=0. \]

Отсюда:

• \(c=0\), то есть \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k\);
• \(c+s=0\). Здесь \(c\ne0\), поэтому после деления на \(c\): \[ 1+\tan x=0,\qquad \tan x=-1, \] значит \[ x=-\frac{\pi}{4}+\pi k. \]

---

2) \(\cos^2x-3\sin x\cos x=-1\)

Переносим \(-1\):

\[ c^2-3sc+1=0. \]

Заменяем \(1=s^2+c^2\):

\[ c^2-3sc+s^2+c^2=0 \]

\[ s^2-3sc+2c^2=0. \]

При \(c=0\) получаем \(s^2=0\), что невозможно. Значит, \(c\ne0\). Делим на \(c^2\) и вводим \(t=\tan x\):

\[ t^2-3t+2=0, \]

\[ (t-1)(t-2)=0. \]

Значит, \(t=1\) или \(t=2\):

\[ x=\frac{\pi}{4}+\pi k \]

или

\[ x=\arctan 2+\pi k. \]

---

3) \(5\sin^2x-3\sin x\cos x=2\cos^2x\)

Переносим всё влево:

\[ 5s^2-3sc-2c^2=0. \]

При \(c=0\) получилось бы \(5s^2=0\), чего быть не может. Поэтому делим на \(c^2\):

\[ 5t^2-3t-2=0. \]

Корни:

\[ t=\frac{3\pm7}{10}, \]

то есть

\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=-\frac{2}{5}. \]

Отсюда:

\[ x=\frac{\pi}{4}+\pi k \]

или

\[ x=-\arctan\frac{2}{5}+\pi k. \]

---

4) \(2\sin^2x-5\sin x\cos x=\cos^2x-2\)

Переносим всё влево:

\[ 2s^2-5sc-c^2+2=0. \]

Заменяем \(2=2(s^2+c^2)\):

\[ 2s^2-5sc-c^2+2s^2+2c^2=0 \]

\[ 4s^2-5sc+c^2=0. \]

Случай \(c=0\) не подходит, поэтому делим на \(c^2\):

\[ 4t^2-5t+1=0. \]

Корни:

\[ t=\frac{5\pm3}{8}, \]

то есть

\[ t=1 \quad \text{или} \quad t=\frac14. \]

Следовательно:

\[ x=\frac{\pi}{4}+\pi k \]

или

\[ x=\arctan\frac14+\pi k. \]

Проверка: все замены \(1=s^2+c^2\) тождественные, случаи \(\cos x=0\) проверены отдельно, поэтому найденные серии корней полные.