реши всё полный ответ

Question

Расшифровка фото нейросетью:
2.32. Решите уравнение:

1. $14x^2-5x-1=0$; 2) $2x^2+x+67=0$; 3) $2p^2+7p-30=0$;

2. $y^2-3y-5=0$; 5) $5x^2-11x+2=0$; 6) $9y^2-30y+25=0$;

3. $81y^2-18y+1=0$; 8) $y^2-11y-152=0$; 9) $8z^2-7z-1=0$.

2.33. Решите уравнение с помощью выделения полного квадрата двучлена, полученный результат проверьте с помощью формулы (6):

1. $3x^2-14x+16=0$; 2) $x^2+2x-80=0$; 3) $15y^2-22y-37=0$;

2. $5x^2-6x+1=0$; 5) $4x^2-36x+77=0$; 6) $x^2-22x-23=0$.

2.34. Решите уравнение с помощью выделения полного квадрата двучлена:

1. $7x^2-20x+14=0$; 2) $y^2-10y-25=0$; 3) $8z^2-14z+5=0$;

2. $x^2-8x-84=0$; 5) $x^2+6x-27=0$; 6) $5t^2+26t-24=0$.

2.35. Решите уравнение:

1. $(x+3)(x-4)=-12$; 2) $18-(x-5)(x-4)=-2$;

2. $(3x-1)^2=1$; 4) $5x+(2x+1)(x-3)=0$;

3. $(2x+3)(3x+1)=11x+30$; 6) $x^2-5=(x-5)(2x-1)$.

4. $5x+(2x+1)(x-3)=0 \Rightarrow 5x+2x^2-5x-3=0 \Rightarrow 2x^2-3=0 \Rightarrow x^2=1,5 \Rightarrow x=\pm\sqrt{1,5}$.

[обрезано] квадратное уравнение с корнями, равными:

1. 1 и 2; 2) -3 и [обрезано]; 3) -10 и 4; 4) $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.

2. ▲ Числа 1 и 2 являются корнями уравнения $x^2+px+q=0$. Тогда имеет место система уравнений
$$\begin{cases}1+p+q=0,\4+2p+q=0.\end{cases}$$
Отсюда $p=-3$ и $q=2$.
Ответ: $x^2-3x+2=0$. ■

Answer

Кратко: все уравнения — квадратные. Основной приём: привести к виду $ax^2+bx+c=0$, найти $D=b^2-4ac$, затем $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$. Если $D<0$, корней нет; если $D=0$, корень один. В номерах 2.33–2.34 тот же результат получается выделением полного квадрата.

Почему это работает:
$$
ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a}.
$$
Поэтому уравнение равносильно $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{D}{4a^2}$. Отсюда и появляется формула корней — это и есть проверка «по формуле (6)».

2.32. По дискриминанту

1. $14x^2-5x-1=0$. $D=25+56=81$. $x=\frac{5\pm9}{28}$. Ответ: $\frac12;-\frac17$.

2. $2x^2+x+67=0$. $D=1-536=-535<0$. Корней нет.

3. $2p^2+7p-30=0$. $D=49+240=289=17^2$. $p=\frac{-7\pm17}{4}$. Ответ: $\frac52;-6$.

4. $y^2-3y-5=0$. $D=9+20=29$. $y=\frac{3\pm\sqrt{29}}{2}$.

5. $5x^2-11x+2=0$. $D=121-40=81$. $x=\frac{11\pm9}{10}$. Ответ: $2;\frac15$.

6. $9y^2-30y+25=0$. $D=900-900=0$. $y=\frac{30}{18}=\frac53$.

7. $81y^2-18y+1=0$. $D=324-324=0$. $y=\frac{18}{162}=\frac19$.

8. $y^2-11y-152=0$. $D=121+608=729=27^2$. $y=\frac{11\pm27}{2}$. Ответ: $19;-8$.

9. $8z^2-7z-1=0$. $D=49+32=81$. $z=\frac{7\pm9}{16}$. Ответ: $1;-\frac18$.

2.33. Выделение полного квадрата

1. $3\left(x-\frac73\right)^2=\frac13$. $x=2;\frac83$. Проверка: $D=4$, $x=\frac{14\pm2}{6}$.

2. $(x+1)^2=81$. $x=8;-10$.

3. $15\left(y-\frac{11}{15}\right)^2=\frac{676}{15}$. $y=\frac{37}{15};-1$. Проверка: $D=2704=52^2$.

4. $5\left(x-\frac35\right)^2=\frac45$. $x=1;\frac15$.

5. $4\left(x-\frac92\right)^2=4$. $x=\frac{11}{2};\frac72$.

6. $(x-11)^2=144$. $x=23;-1$.

2.34. Выделение полного квадрата

1. $7\left(x-\frac{10}{7}\right)^2=\frac27$. $x=\frac{10\pm\sqrt2}{7}$.

2. $(y-5)^2=50$. $y=5\pm5\sqrt2$.

3. $8\left(z-\frac78\right)^2=\frac98$. $z=\frac54;\frac12$.

4. $(x-4)^2=100$. $x=14;-6$.

5. $(x+3)^2=36$. $x=3;-9$.

6. $5\left(t+\frac{13}{5}\right)^2=\frac{289}{5}$. $t=\frac45;-6$.

2.35. Раскрываем скобки и приводим подобные

1. $x^2-x=0$. $x=0;1$.

2. $18-(x^2-9x+20)=-2 \Rightarrow -x^2+9x=0$. $x=0;9$.

3. $3x-1=\pm1$. $x=0;\frac23$.

4. $2x^2-3=0$. $x=\pm\sqrt{\frac32}=\pm\frac{\sqrt6}{2}$.

5. $6x^2-27=0$. $x=\pm\frac{3\sqrt2}{2}$.

6. $x^2-11x+10=0$. $x=1;10$.

Проверка подстановкой подтверждает корни; в 2.33 формула корней даёт те же значения.

Нижнее задание (по корням). На фото оно обрезано: в пункте 2 не виден второй корень. Видимые пункты:

1. $x^2-3x+2=0$;

2. $x^2+6x-40=0$;

3. $6x^2-5x+1=0$.
Для пункта 2 нужен более чёткий кадр.