Реши задание на изображении

Ответ: переместительное свойство (в приложении — второй переключатель).

Почему

В равенстве

\[ n+h=h+n \]

слагаемые \(n\) и \(h\) просто поменялись местами, а сами числа и их количество не изменились. Именно это и разрешает переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Почему не остальные

• Распределительное свойство связывает умножение и сложение: \(a(b+c)=ab+ac\). Здесь умножения нет, поэтому не подходит.
• Сочетательное свойство меняет порядок группировки, а не порядок слагаемых: \[ (a+b)+c=a+(b+c). \] В нашем равенстве скобок нет и группировка не меняется — меняется только порядок.

Как различать на будущее

• поменяли местами — переместительное;
• переставили скобки — сочетательное;
• «раскрыли скобки» с умножением — распределительное.

Проверка на числах: \(3+5=8\) и \(5+3=8\) — сумма одна и та же.

Ответ: сочетательное свойство (второй переключатель).

Почему

В равенстве

\[ (w+y)+n=w+(y+n) \]

слагаемые стоят в одном и том же порядке \(w,\ y,\ n\), но изменена группировка: слева сначала складываются \(w\) и \(y\), справа — сначала \(y\) и \(n\). Именно это и есть сочетательное свойство сложения:

\[ (a+b)+c=a+(b+c). \]

Почему не другие

• Переместительное — это перестановка слагаемых местами: \(a+b=b+a\). Здесь порядок не менялся, значит, не оно.
• Распределительное связывает умножение со сложением: \(a(b+c)=ab+ac\). Умножения в задании нет.

Проверка на числах

Пусть \(w=1,\ y=2,\ n=3\):

\[ (1+2)+3=3+3=6,\qquad 1+(2+3)=1+5=6. \]

Значения равны — группировка не влияет на сумму.

Короткое правило: поменяли местами — переместительное; переставили скобки — сочетательное.

Ответ: «Да» (первый переключатель).

Почему

Даны выражения

\[ tz+12b \quad\text{и}\quad 12b+tz. \]

В них одни и те же два слагаемых — \(tz\) и \(12b\), — только записаны в обратном порядке. По переместительному свойству сложения

\[ tz+12b=12b+tz \]

при любых значениях переменных. Значит, выражения тождественно равны.

Проверка на числах

Пусть \(t=2,\ z=3,\ b=4\). Тогда \(tz=6\) и \(12b=48\):

\[ tz+12b=6+48=54,\qquad 12b+tz=48+6=54. \]

Значения совпали.

Важно не спутать

Тождественно равные выражения — те, у которых при всех допустимых значениях переменных получаются равные значения. Здесь это так, потому что перестановка слагаемых не меняет сумму. А вот, например, \(tz+12b\) и \(tz-12b\) тождественно равны не были бы — знак перед слагаемым уже другой.

Ответ: «Да» (верхний переключатель).

Почему

Выражения

\[ (v+w)\cdot 12 \quad\text{и}\quad 12v+12w \]

тождественно равны: чтобы раскрыть скобки, нужно умножить на 12 каждое слагаемое внутри них:

\[ (v+w)\cdot 12 = v\cdot 12 + w\cdot 12 = 12v+12w. \]

Это распределительное свойство умножения относительно сложения:

\[ (a+b)c=ac+bc. \]

Так как равенство верно при любых значениях \(v\) и \(w\), выражения тождественно равны.

Проверка на числах

Пусть \(v=2,\ w=3\):

\[ (2+3)\cdot 12 = 5\cdot 12 = 60, \] \[ 12\cdot 2 + 12\cdot 3 = 24+36 = 60. \]

Значения совпали.

Как не ошибиться

Множитель за скобкой умножается на каждое слагаемое, а не только на первое: \((v+w)\cdot 12 \neq 12v+w\). Если бы справа стояло \(12v+w\), ответ был бы «Нет».

Ответ: «Нет» (верхний переключатель).

Почему

Раскроем скобки во втором выражении:

\[ 3(b+8)=3b+3\cdot 8=3b+24 \]

Сравниваем с первым выражением:

\[ 3b+8 \quad\text{и}\quad 3b+24 \]

Части \(3b\) совпадают, а свободные члены разные: \(8\neq 24\). Значит, при любом \(b\) значения различаются на 16, и равенство не выполняется ни при каком \(b\). Выражения не тождественно равны.

Проверка на числах

Пусть \(b=1\):

\[ 3\cdot 1+8=11,\qquad 3(1+8)=3\cdot 9=27. \]

\(11\neq 27\) — уже одного примера достаточно, чтобы опровергнуть тождество.

Как не ошибиться

Частая ошибка — умножить на 3 только букву: \(3(b+8)\neq 3b+8\). Множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри, включая свободный член.

Ответ: «Нет» (нижний переключатель).

Почему

Первое выражение содержит множитель \(0\), поэтому при любых значениях \(a\) и \(p\):

\[ (6a+18p)\cdot 0 = 0. \]

А второе выражение

\[ 6a+18p \]

нулю равно не всегда. Например, при \(a=1\) и \(p=1\):

\[ (6\cdot1+18\cdot1)\cdot0=0, \] \[ 6\cdot1+18\cdot1=24. \]

Получили \(0\neq24\), значит, выражения не тождественно равны.

Важно

Тождественно равные выражения должны давать одинаковые значения при всех допустимых значениях переменных. Совпадение в отдельных случаях (например, когда \(6a+18p=0\)) тождества не даёт.

Ответ: «Да» (верхний переключатель).

Почему

Перемножим числовые множители, а буквенные соберём вместе:

\[ (-4h)(11w)=(-4)\cdot 11\cdot h\cdot w=-44hw. \]

Получили ровно второе выражение, значит, они тождественно равны при любых значениях \(h\) и \(w\).

Проверка на числах

Пусть \(h=2,\ w=3\):

\[ (-4\cdot2)(11\cdot3)=(-8)\cdot33=-264, \] \[ -44\cdot2\cdot3=-264. \]

Значения совпали.

Как не ошибиться со знаком

Минус здесь один — он «спрятан» в множителе \(-4\). Поэтому произведение отрицательное: \[ (-4)\cdot 11=-44. \] Если бы было \((-4h)(-11w)\), минусов стало бы два, и ответ был бы \(44hw\) — тогда выражения тождественно равными не были бы.

Ответ: «Да» (нижний переключатель).

Почему

Упростим каждое выражение по отдельности.

Первое: \[ (5a)(6b)=5\cdot 6\cdot a\cdot b=30ab. \]

Второе: сначала сложим подобные слагаемые в скобках, \[ 2a+28a=30a, \] а затем умножим на \(b\): \[ (2a+28a)\cdot b=30a\cdot b=30ab. \]

Оба выражения привели к одному и тому же виду \(30ab\), значит, они тождественно равны при любых значениях \(a\) и \(b\).

Проверка на числах

Пусть \(a=2,\ b=3\):

\[ (5\cdot2)(6\cdot3)=10\cdot18=180, \] \[ (2\cdot2+28\cdot2)\cdot3=(4+56)\cdot3=60\cdot3=180. \]

Значения совпали.

Как не ошибиться

Во втором выражении скобку надо сначала свернуть (сложить \(2a\) и \(28a\) — это подобные слагаемые), а уже потом умножать на \(b\). Если умножить на \(b\) только первое слагаемое, получится \(2ab+28a\), и это уже не будет равно \(30ab\).

Ответ: «является» (второй пункт в списке).

Почему

Раскроем скобки в левой части по распределительному свойству умножения относительно сложения:

\[ 17(v+a)=17\cdot v+17\cdot a=17v+17a. \]

Получили ровно правую часть. Значит, равенство верно при любых значениях \(v\) и \(a\), а такое равенство и называется тождеством.

Проверка на числах

Пусть \(v=2,\ a=3\):

\[ 17(2+3)=17\cdot 5=85, \] \[ 17\cdot 2+17\cdot 3=34+51=85. \]

Совпало. Для тождества важно, что так будет при любых числах, а не только в одном примере.

Короткое правило для этого блока

• выражение слева можно преобразовать в выражение справа (раскрыть скобки, привести подобные, переставить множители) — значит, является тождеством;
• если после упрощения части различаются (например, \(17v+a\) вместо \(17v+17a\)) — не является.

Нужно отметить 1-й, 3-й и 4-й варианты (не отмечать только второй).

Приводим каждое выражение к виду \(4w-4z\)

Исходное выражение удобно записать с вынесенным множителем:

\[ 4w-4z=4(w-z). \]

Теперь проверим варианты.

1) \(-4(z-w)\) — раскроем скобки, меняя знаки у обоих слагаемых: \[ -4(z-w)=-4z+4w=4w-4z. \] Подходит.

2) \(-4z-4w\) — здесь оба слагаемых с минусом, это \(-4(z+w)\). С исходным не совпадает: у \(4w\) должен быть знак «плюс», а не «минус». Не подходит.

3) \(4(w-z)\) — раскрываем скобки: \[ 4(w-z)=4w-4z. \] Подходит.

4) \(-4z+4w\) — переставим слагаемые: \[ -4z+4w=4w-4z. \] Подходит.

Проверка на числах

Пусть \(w=2,\ z=1\). Тогда \(4w-4z=8-4=4\).

• \(1)\ -4(1-2)=-4\cdot(-1)=4\) ✔
• \(2)\ -4\cdot1-4\cdot2=-4-8=-12\) ✘
• \(3)\ 4(2-1)=4\cdot1=4\) ✔
• \(4)\ -4\cdot1+4\cdot2=-4+8=4\) ✔

Что легко перепутать

Знак «минус» перед скобкой меняет знаки у всех слагаемых внутри. Поэтому \(-4(z-w)\) и \(4(w-z)\) дают одно и то же: двойная смена знака (минус перед скобкой и перестановка внутри). А вот \(-4z-4w\) получается из \(-4(z+w)\) — там внутри плюс, а не минус.