7. (3 балла) Катушка с индуктивностью 0,2 Гн и конденсатор ёмкостью 50 мкФ соединены последовательно. При какой частоте наступит резонанс напряжений?

Краткий ответ: резонанс наступит при \(f_0 \approx 50{,}3\) Гц (угловая частота \(\omega_0 \approx 316\) рад/с). Полное сопротивление цепи в этот момент \(Z = 5\) Ом.

Как решать

1. В последовательном контуре резонанс напряжений наступает, когда индуктивное и ёмкостное сопротивления равны: \[ X_L = X_C \]

2. Поэтому \[ \omega L=\frac{1}{\omega C} \quad\Rightarrow\quad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}. \] Обычная частота: \[ f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}. \]

3. Подставляем \(L=0{,}2\) Гн и \(C=50\) мкФ \(=50\cdot10^{-6}\) Ф: \[ LC=0{,}2\cdot50\cdot10^{-6}=10^{-5}, \] \[ f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-5}}} \approx 50{,}3\ \text{Гц}. \]

4. Полное сопротивление последовательной цепи: \[ Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}. \] При резонансе \(X_L=X_C\), поэтому \[ Z=R=5\ \text{Ом}. \]

Проверка: \[ X_L=\omega_0L\approx316\cdot0{,}2\approx63{,}2\ \text{Ом}, \] \[ X_C=\frac{1}{\omega_0C} \approx\frac{1}{316\cdot50\cdot10^{-6}} \approx63{,}2\ \text{Ом}. \] Сопротивления действительно равны.

Принцип для похожих задач: сначала приравнивай \(X_L\) и \(X_C\), находи частоту по \(L\) и \(C\), а при резонансе в полном сопротивлении остаётся только активное сопротивление \(R\).