Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка P — середина стороны AD, точка K — середина DC.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Г10а Урок 9 ДЗ Параллельность прямых и плоскостей

1. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AC. Точка P — середина стороны AD, точка K — середина DC.
а) Каково взаимное расположение прямых PK и AB?
б) Чему равен угол между прямыми PK и AB, если угол ABC равен 40° и угол BCA равен 80°? Ответ обоснуйте.

2. Дан пространственный четырёхугольник ABCD, M и N — середины сторон AB и BC соответственно, точка E принадлежит стороне CD, точка K принадлежит стороне DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.
а) Выполните рисунок к задаче.
б) Докажите, что четырёхугольник MNEK — трапеция.

Answer

Краткий ответ

№ 1. а) $PK$ и $AB$ — скрещивающиеся прямые (не параллельны и не пересекаются). б) Угол между $PK$ и $AB$ равен 60°.

№ 2. б) $MN \parallel EK$, поэтому $MNEK$ — трапеция с основаниями $MN$ и $EK$.

Задача 1

Ключевая идея: $P$ и $K$ — середины сторон треугольника $ADC$, значит $PK$ — его средняя линия.

1. В треугольнике $ADC$: $P$ — середина $AD$, $K$ — середина $DC$, поэтому
$$ PK \parallel AC, \qquad PK = \frac{1}{2}AC. $$

а) Прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABC)$, и $AB$ лежит в этой же плоскости, причём $AB \cap AC = A$. Точка $P$ не лежит в плоскости $(ABC)$ (она на отрезке $AD$, а $D$ вне этой плоскости). Так как $PK \parallel AC$, прямая $PK$ параллельна плоскости $(ABC)$ и потому не пересекает $AB$. Параллельными они тоже быть не могут: иначе $AB \parallel AC$, что неверно. Значит, $PK$ и $AB$ — скрещивающиеся.

б) Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между прямыми, параллельными им и проходящими через одну точку. Так как $PK \parallel AC$, то
$$ \angle(PK, AB) = \angle(AC, AB) = \angle BAC. $$
Сумма углов треугольника $ABC$:
$$ \angle BAC = 180^\circ - 40^\circ - 80^\circ = 60^\circ. $$

Проверка: $40^\circ + 80^\circ + 60^\circ = 180^\circ$; угол между прямыми не превосходит $90^\circ$, $60^\circ$ подходит.

Задача 2

а) Рисунок. Четыре точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости (например, $A, B, C$ — на листе, $D$ — «над» листом). Отметь $M$ — середину $AB$, $N$ — середину $BC$, на $CD$ возьми $E$ так, что $DE:EC = 1:2$ (ближе к $D$), на $DA$ — точку $K$ с $DK:KA = 1:2$. Соедини $M \to N \to E \to K \to M$. Отрезки $MN$ и $EK$ на рисунке параллельны.

б) Доказательство.

1. В треугольнике $DAC$:
$$ DE = \frac{1}{3}DC \ (\text{т.к. } DE:EC = 1:2), \qquad DK = \frac{1}{3}DA \ (\text{т.к. } DK:KA = 1:2). $$
Значит, $\frac{DE}{DC} = \frac{DK}{DA} = \frac{1}{3}$, а угол $D$ — общий. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними
$$ \triangle DEK \sim \triangle DCA \quad (k = \tfrac{1}{3}), $$
откуда
$$ EK \parallel AC, \qquad EK = \frac{1}{3}AC. $$

2. В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, значит $MN$ — средняя линия:
$$ MN \parallel AC, \qquad MN = \frac{1}{2}AC. $$

3. Из $EK \parallel AC$ и $MN \parallel AC$ следует $MN \parallel EK$. Две параллельные прямые лежат в одной плоскости, поэтому $M, N, E, K$ компланарны, и $MNEK$ — четырёхугольник с параллельными сторонами $MN$ и $EK$.

4. При этом
$$ MN = \frac{1}{2}AC \ne \frac{1}{3}AC = EK, $$
поэтому $MNEK$ не является параллелограммом: если бы $ME \parallel NK$, то при $MN \parallel EK$ четырёхугольник был бы параллелограммом и $MN = EK$, что неверно.

Следовательно, $MNEK$ — четырёхугольник ровно с одной парой параллельных сторон, то есть трапеция (основания $MN$ и $EK$). $\blacksquare$

Что здесь важно понять: в обеих задачах работает один приём — параллельность «переносится» через среднюю линию или через подобие треугольников, а затем используется признак скрещивающихся прямых или определение трапеции.